intégrale impropre

raboteux · December 2017

Bonjour,

Je butte sur la compréhension de 2 problèmes d'intégrales impropres (dans un intervalle).
Le corrigé utilise une équivalence en +infini (à 1/racine(t)) pour conclure d'une intégrabilité dans l'intervalle.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on peut utiliser cette équivalence au voisinage du point 0+ par exemple (premier problème).
Si vous pouvez m'aider à y voir plus clair...
Merci d'avance. 70182

Fin de partie · December 2017

Cela utilise un critère de comparaison avec les intégrales des fonctions $f_r(x)=\frac{1}{x^r}$ avec $r>0$ un réel.

On n'est pas obligé de prendre un équivalent asymptotique.
On peut majorer sur $]0,1]$ l'intégrande par la fonction $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
Sauf erreur, l'intégrande est strictement positive sur l'intervalle $]0;1]$ ce qui permet d'avoir recours à une estimation asymptotique toujours sauf erreur.

On a $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \sqrt{x}\times \left(\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\right)=1$

PS:
Le critère d'intégration des fonctions $f_r(x)=\frac{1}{x^r}$ sur $[0;1]$ est, sauf erreur,
La fonction $f_r$ est intégrable sur $[0;1]$ si et seulement si $r<1$

YvesM · December 2017

Bonjour @raboteux,

Tu notes avec intérêt que l'équivalent est en $0$ et non pas en $+\infty$ : c'est une erreur typographique commise trois fois dans la correction. L'intégrale est impropre pour la borne inférieure $0$ ; on cherche donc un équivalent de l'intégrande en $0$ ; cet équivalent est intégrable en $0$ : on en déduit que l'intégrande est intégrable en $0$ et que donc l'intégrale converge.

Fin de partie · December 2017

Il me semble qu'il faut que l'intégrande garde un signe constant au voisinage de 0, pour utiliser un équivalent asymptotique?

Heuristique · December 2017

Oui, la positivité est essentielle. Même pour les $O$ et $o$ ou pour les théorèmes de comparaison.
Par contre, tu peux toujours considérer $\mid f \mid$ pour te ramener à ce cas-là.

raboteux · December 2017

Merci fin de partie

Pour être sur que j'ai bien compris et pour le premier problème par exemple :

- ta première remarque serait que sur ]0,1], la fonction cos/racine t est toujours majorée par 1/racine t, comme les règles des intégrales de riemann disent que l'intégrale du majorant converge (car alpha=0.5 inférieur à 1) alors l'intégrale de notre fonction convergerait aussi
- ta deuxième remarque, serait de dire que l'équivalence en +infini entre les deux fonction serait également utilisable en
]0,1] car l'intégrale de notre fonction est positive c'est cela? si j'ai bien interprété tu t’appuie sur quel théorème?

Merci en tout cas pour ton aide....

Fin de partie · December 2017

La borne qui pose problème dans ton intégrale est 0. La fonction à intégrer est continue sur $]0;1]$.
Ce n'est pas parce qu'une fonction tend vers l'infini en une borne finie que cette fonction n'est pas intégrable.

(La fonction logarithme est continue et intégrable sur $[0;1]$ pourtant en 0+ la limite de cette fonction est infinie.)

Comme déjà indiqué on a pour tout $x>0$, $\displaystyle \mid\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\mid<\frac{1}{\sqrt{x}}$ ta fonction est intégrable en $0$.

Fin de partie · December 2017

Dans la deuxième partie du pdf il y a la démonstration que la fonction logarithme est intégrable en 0 par utilisation d'un équivalent.

(dans le corrigé il n'est mentionné nulle part qu'on s'intéresse au signe de la fonction dont on utilise un équivalent asymptotique)

YvesM · December 2017

Bonjour,

Pour la seconde et dernière fois : l’equivalent est en 0 et non pas en l’infini. C’est une erreur typographique dans la correction.

intégrale impropre

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