limites et équivalences

Bonjour
L'implication ci-dessous me résout une limite assez rapidement.

$f\underset{+\infty}{\sim}\psi$ et $h\underset{+\infty}{\sim}\varphi \implies f+h\underset{+\infty}{\sim}\varphi+\psi $

Sous réserve qu'elle soit vraie... Et puisque ce n'est pas la dessus que je travaille, j'aimerais ne pas trop passer de temps à montrer que qqch quelque chose est vrai alors que c'est peut être faux.

Voici ma question. Est-ce que cette implication est vraie, est-ce difficile à prouver ou à réfuter

Voilà ce que j'ai tenté.
\begin{array}{l} \forall\epsilon>0,\ \exists A_1>0,\ \forall x>A_1, \quad |f(x)-\psi(x)|<\varepsilon|\psi(x)|\quad (1)\\
\forall\epsilon>0,\ \exists A_2>0,\ \forall x>A_2, \quad |h(x)-\varphi(x)|<\varepsilon|\varphi(x)| \quad (2)
\end{array}
Soit un $\varepsilon > 0$, pour $C=\max(A_1,A_2)$ (1) et (2) sont vérifiés.
ainsi on a
$\big|(f(x)+h(x))-(\varphi(x)+\psi(x))\big|\le \big|f(x)-\psi(x)\big|+ \big|h(x)-\varphi(x)\big|<\big(|\psi(x)|+|\varphi(x)|\big)\varepsilon$
et mon problème est que je n'arrive pas à majorer par $\Big(\big|\psi(x)+\varphi(x)\big|\Big)\varepsilon$.

Merci d'avance.