Voici la série de fonctions $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2x^2}
$$ J'aimerais montrer que la limite en 0 n'existe pas. Auriez-vous des idées ?
J'ai essayé de séparer les termes pairs et les termes impairs.
Ensuite en faisant une comparaison série-intégrale, j'ai encadré les deux sommes mais cela ne m'a pas permis de conclure.
@totem : ça ne prouve rien. Par exemple la fonction $x \mapsto \frac{1}{1+x}$, qui est donnée par la somme de la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} (-x)^n$$ pour $|x| < 1$ admet pour limite $\frac{1}{2}$ en $1$, bien que le terme général de la série ne tende pas vers $0$ pour $x=1$.
Une observation, par le critère des séries alternées, on sait que la fonction $f$ est bornée au voisinage de $0$, donc s'il y a divergence, ce n'est pas explosif.
Ma dernière intervention était complètement fausse. :-D
Par contre, voici une solution possible. En utilisant la technique des résidus pour le calcul de séries (ici grâce au facteur sommatoire $\pi / \sin(\pi z)$), on trouve $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+n^2x^2} = \frac{i\pi}{2x\sin(i\pi/x)}-\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2x\sinh(\pi/x)}-\frac{1}{2}$$ Le premier terme tend vers $0$ donc la somme tend bien vers $-1/2$.
Ah ! Maintenant que tu nous mets la réponse sous les yeux, on reconnaît l'avant-dernière formule, là, pour $\pi/\sin(\pi x)$ !
Sinon, pour tracer le graphe, j'ai utilisé Sage, logiciel libre qu'on installe très facilement sur Linux, assez facilement sur Mac et pas trop facilement sur Windows (mais qui travaille encore sur Windows ?) et qu'on peut utiliser en ligne. Le code est vraiment très simple :
f = sum((-1)^n/(1.+n^2*x^2) for n in range(1,10^4))
plot(f,(x,0.05,1))
J'essaie de comprendre le principe. C'est un regroupement astucieux des termes de la série qui permet d'obtenir la convergence normale.
Un simple regroupement de deux termes consécutifs : $v_n = u_n - u_{n+1}$ ne suffit pas à atteindre la convergence normale. Alors on regroupe encore les $v_n$ et par miracle on obtient la convergence normale (?)
Mais est-ce une méthode connue, un principe général sur les séries ? Peut-on faire une analogie avec l'intégration par partie ? En l’occurrence on aurait fait une double intégration par parties ?
Finalement je ne comprends pas la majoration
$|u_n(x) - 2u_{n+1}(x) + u_{n+2}(x)| \le \frac{6}{n^2}$.
Après calcul, on minore le dénominateur par $n^6x^6$.
Mais au numérateur, il nous reste $(6n^2+12n+4)x^4 - 2x^2$.
Donc au voisinage de $0$ cela va exploser.
Il y a quelque chose qui m'échappe ?
Pour la majoration on peut majorer le numérateur par $6x^2(1+(n+2)^2x^2)$, simplifier, puis enfin minorer le dénominateur par $n^2x^2$.
La technique utilisée se retrouve dans des situations analogues, par exemple pour le calcul de la limite en 0 de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^x}$.
Réponses
Ensuite en faisant une comparaison série-intégrale, j'ai encadré les deux sommes mais cela ne m'a pas permis de conclure.
D'ailleurs il semble que la série converge vers -0,5 quand x tend vers 0 sur le graphique ?
Pour f(1) peut-on la calculer explicitement ? je pense aux séries de Fourier...
Par contre, voici une solution possible. En utilisant la technique des résidus pour le calcul de séries (ici grâce au facteur sommatoire $\pi / \sin(\pi z)$), on trouve $$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+n^2x^2} = \frac{i\pi}{2x\sin(i\pi/x)}-\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2x\sinh(\pi/x)}-\frac{1}{2}$$ Le premier terme tend vers $0$ donc la somme tend bien vers $-1/2$.
Sinon, pour tracer le graphe, j'ai utilisé Sage, logiciel libre qu'on installe très facilement sur Linux, assez facilement sur Mac et pas trop facilement sur Windows (mais qui travaille encore sur Windows ?) et qu'on peut utiliser en ligne. Le code est vraiment très simple :
On pose $u_n(x)=\dfrac1{1+n^2x^2}$, $v_n=u_n-u_{n+1}$ et $w_n=v_n-v_{n+1}$.
On montre que $4f(x) = -2u_1(x)-v_1(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n w_n(x)$.
Ensuite on montre que $|w_n(x)|=|u_n(x)-2u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)|\le \dfrac6{n^2}$.
Il y a donc convergence normale de $\sum(-1)^nw_n$ sur $\R$ d'où $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=-\dfrac14(2u_1(0)+v_1(0))=-\dfrac12$.
J'essaie de comprendre le principe. C'est un regroupement astucieux des termes de la série qui permet d'obtenir la convergence normale.
Un simple regroupement de deux termes consécutifs : $v_n = u_n - u_{n+1}$ ne suffit pas à atteindre la convergence normale. Alors on regroupe encore les $v_n$ et par miracle on obtient la convergence normale (?)
Mais est-ce une méthode connue, un principe général sur les séries ? Peut-on faire une analogie avec l'intégration par partie ? En l’occurrence on aurait fait une double intégration par parties ?
Mais peut-être je me trompe !
$|u_n(x) - 2u_{n+1}(x) + u_{n+2}(x)| \le \frac{6}{n^2}$.
Après calcul, on minore le dénominateur par $n^6x^6$.
Mais au numérateur, il nous reste $(6n^2+12n+4)x^4 - 2x^2$.
Donc au voisinage de $0$ cela va exploser.
Il y a quelque chose qui m'échappe ?
La technique utilisée se retrouve dans des situations analogues, par exemple pour le calcul de la limite en 0 de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^x}$.