Bonjour
J'ai un problème concernant le calcul de la dérivée seconde d'une fonction définie avec une intégrale.
Pouvez-vous m'aider ?
Je vous remercie d'avance.
Pour la dérivée en $x$ c'est facile, tu dérives sous le signe intégrale (en justifiant que tu as le droit bien sûr B-)- ), et il suffit de voir que $$\int_{x-s}^{x+s} truc\, dt = \int_0^{x+s} truc\, dt - \int_0^{x-s} truc\, dt.$$
Pour la dérivée en $t$, c'est un tout petit peu plus compliqué. Réfléchis déjà à comment tu pourrais dériver une fonction de la forme $$t \mapsto \int_0^t g(t,s) ds,$$ avec $g$ suffisamment régulière, en te servant de primitives.
Tu écris vraiment petit, c'est difficile de te lire. Mais il me semble que tu as écrit n'importe quoi, pourquoi n'y a-t-il plus d'intégrale en $t$ dès le début ?
Jusque-là oui, mais il faudrait justifier pourquoi tu peux rentrer le symbole d'intégration sous le signe intégral. Si tu veux redériver en $x$ il n'y a rien de plus compliqué que ce que tu viens de faire...
Pour la dérivation en $t$, je te suggère de regarder l'indication de Math Coss ou la mienne dans mon message précédent.
Bah il n'y a rien d'autre à dire (à part écrire la différence des deux dérivées si tu veux. Ça ne se simplifie pas plus, à moins que ta fonction $F$ ait une forme agréable à manipuler.
Non seulement ta dérivation est fausse, mais l'intégration que tu fais derrière aussi...
On reprend, pour tout $t, x, s \in \mathbb R$, j'appelle $$g(t, x,s) = \int_{x-s}^{x+s} F(y, t-s) \,dy.$$ La fonction à dériver est $$h : t \mapsto \int_0^t g(t,x,s) \,ds.$$ À partir de maintenant on fixe $x \in \mathbb R$. Par le théorème fondamental de l'analyse, si, pour $y \in \mathbb R$, je note $$p(y, .) : t \mapsto \int_0^t g(y,x,s) \,dx,$$ alors $p(y, .)$ est une primitive de $t \mapsto g(y,x,t)$. Or $h : t \mapsto p(t,t)$.
Ainsi, par dérivation de fonctions composées, on a pour $t \in \mathbb R$, $$h'(t) = \frac{\partial p}{\partial x_1}(t,t) + \frac{\partial p}{\partial x_2}(t,t) = \int_0^t \frac{\partial g}{\partial x_1}(t,x,s) \,ds + g(t,x,t)$$.
Réponses
Pour la dérivée en $t$, c'est un tout petit peu plus compliqué. Réfléchis déjà à comment tu pourrais dériver une fonction de la forme $$t \mapsto \int_0^t g(t,s) ds,$$ avec $g$ suffisamment régulière, en te servant de primitives.
$$G(a,x)=\int_0^ag(x,s)\mathrm{d}s$$
avant de poser $g(t)=G(t,t)$ et de dériver grâce à la [url=]https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_dérivation_des_fonctions_composées#Cas_g.C3.A9n.C3.A9ral]règle de dérivation des fonctions composées[/url].
J'avoue être un peu perdu...
Voici un début ...
Voici un début. Est-ce correct ? si oui ensuite je bloque.
Pour la dérivation en $t$, je te suggère de regarder l'indication de Math Coss ou la mienne dans mon message précédent.
Merci
Maintenant si je reprends le calcul de la dérivée partielle en t:
On reprend, pour tout $t, x, s \in \mathbb R$, j'appelle $$g(t, x,s) = \int_{x-s}^{x+s} F(y, t-s) \,dy.$$ La fonction à dériver est $$h : t \mapsto \int_0^t g(t,x,s) \,ds.$$ À partir de maintenant on fixe $x \in \mathbb R$. Par le théorème fondamental de l'analyse, si, pour $y \in \mathbb R$, je note $$p(y, .) : t \mapsto \int_0^t g(y,x,s) \,dx,$$ alors $p(y, .)$ est une primitive de $t \mapsto g(y,x,t)$. Or $h : t \mapsto p(t,t)$.
Ainsi, par dérivation de fonctions composées, on a pour $t \in \mathbb R$, $$h'(t) = \frac{\partial p}{\partial x_1}(t,t) + \frac{\partial p}{\partial x_2}(t,t) = \int_0^t \frac{\partial g}{\partial x_1}(t,x,s) \,ds + g(t,x,t)$$.