analyse complexe : calcul d'intégrale

Eh bien, d'abord il faut imaginer un circuit. Ça va commencer par le segment $[0,1]$ sans doute. En fait non, parce que la fonction ou la forme a une singularité en $1$ : il faut donc s'arrêter un peu avant, disons en $1-\varepsilon$. Ensuite, on circonscrit le problème : on décrit un cercle de rayon $\varepsilon$ autour de $1$, disons dans le sens trigonométrique. Enfin, on revient à $0$.

Mais ça ne va pas : pour définir $(1-z^3)^{1/3}=(1-z)^{1/3}(1+z+z^2)^{1/3}$, il faut une détermination de la racine cubique et peut-être même du logarithme. Pour ça, il faut relier $1$ à l'infini et éviter tous les points du cercle $\mathcal{C}(1,\varepsilon)$. Pas possible bien sûr, il faut couper quelque part. Le plus naturel, c'est d'écarter un peu le point de départ et d'arrivée sur le cercle. Pour ça, on peut par exemple translater le segment $[0,1-\varepsilon]$ un peu vers le bas dans la première partie du circuit et un peu vers le haut dans la dernière section du circuit. Comme ça, l'argument de $1-z$ n'est jamais nul, ça permet d'appliquer une détermination du logarithme définie sur $\C\setminus\R^+$. Ça donne un dessin de ce genre.