Infini / fini
Bonjour,
j'ai regardé une vidéo de vulgarisation scientifique (https://www.youtube.com/watch?v=3s7h2MHQtxc) où très brièvement à la fin (vers 16:50) se trouve une petite remarque sur le fait que des résultats asymptotiques permettent de justifier des résultats finis.
En guise d'exemple il montre que la série $\sum_{n=0}^{+\infty}2^n = -1$ possède un analogue "fini" $\sum_{n=0}^{N}2^n \equiv -1 \mod 2^{N+1}$ et en guise d'application "concrète" c'est comme cela qu'est codé le $-1$ d'en une machine. Par exemple pour un "signed char", -1 en binaire s'écrit 11111111.
J'aimerai approfondir cette idée d'analogue fini de résultat asymptotique par simple curiosité et culture personnelle.
Auriez-vous connaissance de documents sur le sujet ? J'ai cherché sur la toile mais je ne dois pas avoir les bons mots clés car je n'ai pas trouvé grand chose.
Terrence Tao a fait un billet sur le sujet https://terrytao.wordpress.com/2007/05/23/soft-analysis-hard-analysis-and-the-finite-convergence-principle/ mais j'aurai aimé des lectures un peu plus accessibles ou vulgarisées dans un premier temps.
Je vous remercie par avance de votre aide.
Cordialement,
Mister Da
j'ai regardé une vidéo de vulgarisation scientifique (https://www.youtube.com/watch?v=3s7h2MHQtxc) où très brièvement à la fin (vers 16:50) se trouve une petite remarque sur le fait que des résultats asymptotiques permettent de justifier des résultats finis.
En guise d'exemple il montre que la série $\sum_{n=0}^{+\infty}2^n = -1$ possède un analogue "fini" $\sum_{n=0}^{N}2^n \equiv -1 \mod 2^{N+1}$ et en guise d'application "concrète" c'est comme cela qu'est codé le $-1$ d'en une machine. Par exemple pour un "signed char", -1 en binaire s'écrit 11111111.
J'aimerai approfondir cette idée d'analogue fini de résultat asymptotique par simple curiosité et culture personnelle.
Auriez-vous connaissance de documents sur le sujet ? J'ai cherché sur la toile mais je ne dois pas avoir les bons mots clés car je n'ai pas trouvé grand chose.
Terrence Tao a fait un billet sur le sujet https://terrytao.wordpress.com/2007/05/23/soft-analysis-hard-analysis-and-the-finite-convergence-principle/ mais j'aurai aimé des lectures un peu plus accessibles ou vulgarisées dans un premier temps.
Je vous remercie par avance de votre aide.
Cordialement,
Mister Da
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Réponses
Ca commence fort.
$$\begin{array}{rrrrrr}
\scriptsize{\cdots}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\scriptsize{1}&\\
\cdots&1&1&1&1&1&1\\&&&&&&1\\\hline
\cdots&0&0&0&0&0&0\end{array}$$
Le tout, c'est de se mettre d'accord sur le sens de la somme infinie, c'est-à-dire sur la norme que l'on considère sur $\Q$. Ici, la valeur absolue habituelle ne donne pas une somme convergente mais si on note $v_2(x)$ la valuation dyadique d'un rationnel $x$ (si $x=p2^v/q$ avec $p$ et $q$ impairs, $v_2(x)=v$ ; et $v_2(0)=+\infty$) et $\|x\|=2^{-v_2(x)}$, on fait de $(\Q,\|\cdot\|)$ un espace ultramétrique (i.e. $\|x+y\|\le\max\bigl(\|x\|,\|y\|\bigr)$). Remarquons que $\|2^{N+1}\|=2^{-N-1}$ pour tout $N$, de sorte que la suite $(2^N)$ tend vers $0$.
À présent, soit $N$ entier et $u_N=\sum_{n=0}^N2^n$. On a: $u_N=-1+2^{N+1}$. Cette suite tend bien vers $-1$ lorsque $N$ tend vers l'infini.
Comme pour $0,999\cdots$, ce qui était difficile, c'était de donner un sens à la somme $\sum_{n\ge1}2^n$ mais pas de la calculer !
pour compléter, au sens de la métrique 2-adique (que j'avais sous entendu), on peut montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}2^n$ est convergente. Ainsi $\sum_{n=0}^{+\infty}2^n + \sum_{n=0}^{+\infty}2^n = 2\sum_{n=0}^{+\infty}2^n = \sum_{n=1}^{+\infty}2^n = \sum_{n=0}^{+\infty}2^n -1$.
Il y a beaucoup de résultats similaires sur les séries divergentes (et pas seulement les séries alternées) sans parler du prolongement analytique de la fonction $\zeta$ . Je l'ai souvent vu utilisé pour épater la galerie car on ne précise jamais qu'on est dans $\mathbb{Q}_p$ ou $\mathbb{Z}_p$. Bref, j'avais toujours vu cela comme une "simple curiosité mathématique" et je n'avais jamais vu le lien par exemple sur cet exemple avec un problème plus concret sur la représentation des nombres négatifs en machine par exemple, d'où ma recherche de documents sur le sujet.
Cordialement,
Mister Da
Personnellement je connaissais juste la formule d'Euler-MacLaurin qui permet de donner un sens aux sommes du type $$\sum_{n=1}^{+\infty} n = -\frac{1}{12}.$$
@Poirot : oui et la devise est régularité linéarité et stabilité.J'ai déjà bouquiné des choses là dessus pour voir le sens que les mathématiciens arrivaient à donner à de telles "curiosités". Maintenant ce qui m’intéresse plus, c'est de voir les débouchés "concrets" et les applications qui en découlent.
Cordialement,
Mister Da
Si $a_n=2^n$, on obtient
$$g(t)=\left( 1-2\,{{\rm e}^{t}} \right) ^{-1}=-1+2\,t-3\,{t}^{2}+{\frac {13}{3}}{t}^{3}-{\frac {25}{4}}{t}^{4}+{\frac {541}{60}}{t}^{5}+O \left( {t}^{6} \right)$$
d'où une somme égale à $-1$.
Si $a_n=n$, on obtient
$$g(t)=\frac {{{\rm e}^{t}}}{ \left( {{\rm e}^{t}}-1 \right) ^{2}}=\frac{1}{{t}^{2}}-{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{240}}{t}^{2}+O \left( {t}^{4}\right)$$
d'où une somme égale à $-1/12$.