Lien entre $\liminf$ et $\limsup$

hftmaths · July 2017

Salut,

Je viens de découvrir les notions de $\liminf$ et $\limsup$. Ci-dessous se trouve la définition/proposition de mon cours que je sais démontrer. J'imagine que c'est très simple mais je ne sais pas justifier que :

$$\liminf x_n=-\limsup(-x_n)$$

Sauf erreur, il suffit que je montre que pour toute partie $A$ de $\overline{\mathbb R},\inf A=-\sup(-A)$, ce que j'ai tenté de faire par double inégalité. En remarquant que : $\forall a\in A, -a\leq\sup(-A)$ donc $-\sup(-A)\leq a$ donc par passage à l'inf, on obtient $-\sup(-A)\leq\inf A$. Pour l'autre inégalité par contre, je ne vois pas.

Merci par avance, 65762

hftmaths · July 2017

Je pense avoir trouvé : $\forall a\in -A, -a\in A$ donc $\inf A\leq -a$ donc $a\leq -\inf A$ donc par passage au sup, $\sup(-A)\leq -\inf A$ donc $\inf A\leq -\sup(-A)$.

Math Coss · July 2017

Avec un peu plus de mots :

$-a\le b$ SSI $-b\le a$ donc $b$ est un majorant de $-A$ SSI $-b$ est un minorant de $A$ ;
$b\le b'$ SSI $-b'\le-b$ donc $b$ est le plus petit des majorants de $-A$ SSI $-b$ est le plus grand des minorants de $A$.

Autrement dit : $\sup(-A)=-\inf(A)$.

hftmaths · July 2017

Sur le même thème, il y a une autre propriété que je ne sais pas démontrer :

Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites d'éléments de $\overline{\mathbb R}$. On suppose que $\limsup x_n+\limsup y_n$ est bien défini et pour tout $n, x_n+y_n$ est bien défini. Alors $\limsup (x_n+y_n)\leq\limsup x_n+\limsup y_n$.

gebrane · July 2017

Il y a un cours d'Alea qui explique tous ca ( meme en video)
edit le lien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1412234,1412238#msg-1412238