Suite récurrente non linéaire

Suite auxiliaire y(n+1)=1/2 + 1/(2y(n)) du type homographique

Peut-être faut-il se ménager des étapes, par exemple montrer d'abord que la suite $v_n$ est bornée : $ a \leq v_n \leq b$ avec $0<a<1<b$, puis montrer que la suite $v_n$ tend vers $1$. Peut-être...
Bonne fin d'après-midi.
Fr. Ch.

J'ai pensé aussi à la suite auxiliaire $w_{n+1}=f(w_{n})$ avec $f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2x}$ et $w_{0}>0$.
C'est une suite homographique qu'on peut traiter sans recourir aux suites à récurrence linéaire d'ordre $2$.
On peut prouver que pour $n$ assez grand (je pense $n \geq 4$) on a : $\left\vert w_{n+1}-1\right\vert \leq \lambda \left\vert w_{n}-1\right\vert $ avec $0<\lambda <1$.
Ou bien on peut considérer $g=f\circ f$, et alors $w_{2n+2}=g(w_{2n})$, et $g$ est une fonction homographique croissante.
Mais pour l'instant je n'ai pas finalisé.
Bonne continuation.
Fr. Ch.

En ce moment je ne dispose plus de moyens de calcul pour ceci. Si la suite est croissante c'est à partir de $v_2$ je suppose ?
Si quelqu'un pouvait nous sortir les,disons, 20 premiers termes, ce serait bien.

Merci beaucoup. Elle est « donc » croissante à partir de $v_4$. Parce que partant de $1$ et tendant vers $1$ en croissant, il fallait bien qu'elle diminue d'abord...,

Considérons la suite $(w_n)$ définie par $w_n = \frac{v_n}{c_n}$, qui vérifie la relation suivante :
$$
\forall n\in \N^*,\quad w_{n+1} = \frac12\frac{c_n}{c_{n+1}}\left(1+\frac{1}{w_n}\right).
$$
Le problème consiste à démontrer que $w_n = 1 + o(1/n)$.

Je ne détaille pas la preuve de $w_n = 1 + o(1)$ car NM001 sait déjà établir ce résultat. Posons $u_n = w_n - 1$ pour y voir plus clair. Puisque $w_n \to 1$, le développement $\frac{c_n}{c_{n+1}} = 1 + O(1/n^2)$ donne alors :
$$
u_{n+1} = - \frac{u_n}{2w_n} + O(\frac 1{n^2}).
$$
On a donc en particulier $|u_{n+1}| \leq \lambda |u_n| + O(1/n^2)$ pour tout $\frac12 < \lambda < 1$, et on en déduit facilement :
$$
u_n = O\left( \sum_{k=1}^n \frac{\lambda^{n-k}}{k^2}\right) = o\left(\frac1n\right).
$$

P.S. La méthode permet de poursuivre le développement. Par exemple $u_n = -\dfrac{8}{3n^2} + O\left(\dfrac1{n^3}\right)$.

Cher gebrane0, je ne pense pas que l'égalité $\frac{n}{c_n}-n-4 = 0$ te pose problème. Alors pourrais-tu préciser ta question ?

Peut-être pensais-tu à l'équivalence entre $\frac{n}{v_n}-n-4 \to 0$ et $w_n = 1 + o(1/n)$ ? Ceci découle d'un petit calcul :
$$
\frac{n}{v_n} - n - 4 = (n+4)\left(\frac{1}{w_n}-1\right)
$$