Composée de deux fonctions DSE

fbi · November 2016

Bonjour,
sous réserve de son existence, la composée de deux fonction DSE est-elle DSE ?
Je ne vois aucun résultat concernant cette question dans la littérature.
Je précise que cette question m'a été posée lors de la présentation de la leçon "Fonctions DSE" pendant la préparation de l'oral de l'agreg interne.
Cordialement.

Magnéthorax · November 2016

Regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_entière#Substitution

Dans un livre classique d'analyse genre calcul infinitésimal, ça doit y être.

fbi · November 2016

OK,
merci,
je vais chercher dans le Dieudonné mais cela risque de dépasser mes compétences ...

Magnéthorax · November 2016

J'ai regardé vite fait, ça y est. C'est typiquement le genre de truc un peu sale à écrire.

Poirot · November 2016

À la main c'est en effet plutôt "sale" à prouver. Sinon on peut utiliser la théorie des fonctions holomorphes pour justifier ce fait. Cela prouve le résultat sur $\mathbb C$. Sur $\mathbb R$ il suffit de remarquer qu'une fonction DSE au voisinage (réel) de $a$ définit une fonction DSE donc holomorphe au voisinage (complexe) de $a$ par convergence de la série entière.