Chaîne de Markov

J'ai l'impression d'avoir un contre-exemple.

Soit $X_0\sim\mathcal B(\frac{1}{2})$, i.e. $\mathbb P(X_0=0)=\mathbb P(X_0=1)=\frac{1}{2}$.
Et on définit $X_n$ par récurrence par : \[
\forall n\in\mathbb N,\quad X_{n+1}=1 - X_n
\] Alors $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ est clairement une chaîne de Markov. Pourtant, \[
\mathbb P(X_2=1\mid X_0=0,X_1=0)=\mathbb P (X_2=1)=\mathbb P(X_0=1)=\frac{1}{2}
\] Mais \[
\mathbb P(X_2=1\mid X_1=0) = 1
\] Donc...

Merci pour la réponse.

Pourtant, j'ai vu dans plusieurs ouvrages (fiables et de qualité) que l'on pose par convention $\mathbb P(A\mid =\mathbb P(A)$ lorsque $\mathbb P(B)=0$.

Mais donc, si je comprends bien, la propriété de Markov est souvent écrite de manière erronée, comme par exemple la définition de wikipedia : Wikipedia chaîne de markov
Et il faut comprendre qu'on ne considère l'égalité que pour un conditionnement de probabilité strictement positive.

Autre chose, mais ça commence à dévier du sujet original : pourquoi l'espace discret joue-t-il un rôle ? Comment se fait le conditionnement par un ensemble de probabilité nulle dans le cas non discret ? Et aussi, on confond discret et dénombrable ??

alea a écrit:

Cette convention ne me semble pas une très bonne idée. A quoi bon définir $P(A|B)$ si $B$ n'arrive pas ? Au prix de ne plus avoir $P(A\cap =P(A|B)P(B)$.

Si je me souviens bien, l'un des auteurs justifiait la convention par l'idée d'avoir $\mathbb P(\Omega\mid =\mathbb P(\Omega)=1$ en toutes circonstances. Enfin bon, je suis d'accord que l'intérêt me semble aussi limité.

alea a écrit:

Effectivement, c'est un abus de langage, discret est ici utilisé pour dénombrable. C'est un abus de langage pas très heureux, j'en conviens, mais l'habitude de dire "variable aléatoire discrète" pour dire "variable aléatoire à valeurs dans un ensemble dénombrable" est solidement ancrée.

Ah, merci de confirmer. Cela faisait longtemps que je me posais la question.

alea a écrit:

Dans le cas continu, c'est une longue histoire. Pour faire court, $P(A|X=x)=f(x)$ signifie que $P(A,X\in I)=E(1_I(X)f(X))$ pour tout intervalle $I$.
$f(x)$ n'a pas de sens point par point, en revanche $f$ est unique à l'égalité $P_X$ presque sûre près.

Ah mais ici on considère des événements très particuliers, qui s'écrivent $\{X=x\}$. À ce moment là d'accord, on peut même écrire $\mathbb P(A\mid X=x)=\mathbb E[1_{\{A\}}\mid X=x]$, mais selon moi peut très bien avoir du sens dans le cas dénombrable. Mais effectivement j'imagine bien que c'est dans le domaine du continu que l'on interprète mieux ce genre de choses, par exemple la densité conditionnelle.

Merci pour la réponse