Accommoder les restes
Bonjour.
Je reviens sur une question dont nous avons pas mal parlé.
Soit une série convergente de terme général réel positif $u_n$ ; la série de terme général $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$ est convergente si et seulement si la série de terme général $nu_n$ est convergente et dans ce cas : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$.
Comme l'on sait, ce théorème a une appplication intéressante en Calcul des Probabilités.
Un temps j'ai cru que cette propriété s'étendait aux séries absolument convergentes et c'est vrai dans un sens.
Si la série de terme général $nu_n$ converge absolument, alors la série de terme général $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$ est absolument convergente, et : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$
Mais il existe une série absolument convergente de terme général $u_n$ telle que la série de terme général $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$ est absolument convergente, et telle que la série de terme général $nu_n$ est divergente.
J'ai trouvé au soleil de cet été un exemple mais je le trouve trop tarabiscoté, alors je pose la question pour voir si quelqu'un en trouverait un autre plus simple.
Bonne journée.
F. Ch.
Je reviens sur une question dont nous avons pas mal parlé.
Soit une série convergente de terme général réel positif $u_n$ ; la série de terme général $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$ est convergente si et seulement si la série de terme général $nu_n$ est convergente et dans ce cas : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$.
Comme l'on sait, ce théorème a une appplication intéressante en Calcul des Probabilités.
Un temps j'ai cru que cette propriété s'étendait aux séries absolument convergentes et c'est vrai dans un sens.
Si la série de terme général $nu_n$ converge absolument, alors la série de terme général $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$ est absolument convergente, et : $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$
Mais il existe une série absolument convergente de terme général $u_n$ telle que la série de terme général $\displaystyle R_{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}u_{k}$ est absolument convergente, et telle que la série de terme général $nu_n$ est divergente.
J'ai trouvé au soleil de cet été un exemple mais je le trouve trop tarabiscoté, alors je pose la question pour voir si quelqu'un en trouverait un autre plus simple.
Bonne journée.
F. Ch.
Réponses
-
Bonjour,
\[
u_n=\frac{(-1)^n}{n\sqrt n}
\]
EDIT : Non pardon, la série $nu_n$ est semi-convergente mais pas divergente. -
On définit $R_n=\frac{1}{n}$ si $n$ est une puissance de $2$, et $R_n=0$ sinon. Soit $u_n=R_{n-1}-R_n$. Alors $\sum_n |R_n|=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}=2$. D'autre part, la suite $(nR_n)$ diverge puisqu'elle admet $0$ et $1$ comme valeurs d'adhérence, mais la série $\sum nu_n=\sum ((n-1)R_{n-1}-nR_n)+\sum R_{n-1}$ est la somme d'une série divergente et d'une série convergente, donc elle diverge.
-
@ JLT
Merci, ma solution ressemble à la tienne.
Moi je suis parti du lemme vrai pour toute série convergente : $\displaystyle \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}ku_{k}+nR_{n}$.
Et je me suis dit : il me faut une série convergente de terme général $R_n$ telle que $nR_n$ ne tende pas vers 0.
Question classique, j'ai pensé à : $R_{n}=\frac{1}{n}$ si $n$ est un carré, et $R_{n}=\frac{1}{n^{2}}$ sinon.
Et deuxième idée : toute suite de limite nulle est une suite de restes de quelque série convergente.
Mais ceci donne un $u_n$ un peu compliqué.
L'intérêt de ta solution c'est que tu n'utilises pas d'expression de $u_n$.
J'ai posé la question dans l'espoir de voir apparaître un $u_n$ qui ait une expression plus simple. Mais ce n'est peut-être pas possible.
Bonne soirée.
F. Ch. -
@ JLT
Le défaut de ma solution était de rester le nez fixé sur l'expression de $u_n$, avec trois cas, ce qui alourdissait considérablement la rédaction.
En adoptant ton approche, on a : $\left| u_{n}\right| =\left| R_{n-1}-R_{n}\right| \leq \left| R_{n-1}\right| +\left| R_{n}\right| =R_{n-1}+R_{n}$, ce qui prouve que la série de terme général $u_n$ est absolument convergente.
Avec ta série, on a :$u_{2^{p}}=-\frac{1}{2^{p}}$, d'où : $2^{p}u_{2^{p}}=-1$, ce qui prouve que la série de terme général $nu_n$ diverge grossièrement.
On a un résultat analogue avec la mienne.
Tout ça est bon pour un DS de rentrée sur les séries numériques.
Bonne et belle journée, l'été persiste.
F. Ch. -
Cela ne me semble pas si compliqué :
$$
u_n = \begin{cases}\frac{1}{n-1} & \text{si } n-1 \text{ est un carré},\\-\frac{1}{n} & \text{si } n \text{ est un carré},\\ 0 & \text{sinon}.\end{cases}
$$
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