Union dénombrable de complets
Bonjour,
J'aimerais savoir si tout espace vectoriel métrique peut s'écrire comme réunion dénombrables de parties complètes.
Sachant que l'on peut trivialement écrire
\[
E = \bigcup_{n\in\mathbb N}B(0,n)
\]
où $B(0,n)$ est la boule fermée de centre 0 et de rayon $n$, n'a-t-on pas par hasard un résultat de complétude sur les boules fermées ?
Merci.
J'aimerais savoir si tout espace vectoriel métrique peut s'écrire comme réunion dénombrables de parties complètes.
Sachant que l'on peut trivialement écrire
\[
E = \bigcup_{n\in\mathbb N}B(0,n)
\]
où $B(0,n)$ est la boule fermée de centre 0 et de rayon $n$, n'a-t-on pas par hasard un résultat de complétude sur les boules fermées ?
Merci.
Réponses
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Le corps des rationnels est dénombrable et non complet (pour la distance usuelle). Et c'est bien entendu un ev sur lui-même.
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Bonsoir !
Pourquoi veux-tu que les boules fermées soient des complets pour un espace métrique quelconque ?
Dans $E=\R_+^*$ et la distance usuelle, $]0,2]$ est la boule fermée de centre 1, rayon 1 et ce n'est pas un fermé complet.
Désolé j'avais zappé la condition : espace vectoriel ! -
Un espace vectoriel métrique ?
Un exercice simple. Soit $(E,d)$ un espace métrique et $x$ un point de $E$. On suppose que, pour tout entier $n$, la boule fermée $B(x,n)$ est complète. Montrer que $E$ est complet. Cela montre que ta stratégie n'aboutit pas. -
Merci beaucoup pour vos réponses.
math2 : Je ne suis pas sûr de comprendre la réponse, enfin plutôt si mais je ne vois pas bien le rapport.
rakam : Merci pour l'exemple mais effectivement il y a bien le caractère vectoriel dans l'histoire
1528 : Effectivement c'est assez simple. Une suite de Cauchy étant bornée, elle évolue dans une de ces boules et on conclut qu'elle converge. Merci pour cet éclaircissement.
En revanche j'en reviens à ma question de départ, qui est celle qui m'intéresse surtout. Sauriez-vous si un ev métrique quelconque peut être écrit comme union dénombrable de complets ? Manifestement, les boules fermées ne sont pas de bons candidats.
Si vous voulez savoir pourquoi ça m'intéresse, c'est pour montrer de manière élégante qu'une partie à la fois ouverte et fermée d'un ev métrique est soit vide, soit l'ev entier. Je vous écrirai la démonstration si la réponse à ma question est positive. -
Il faudrait que tu précises ce que tu entends par "espace vectoriel métrique" parce que ce n'est pas une expression répandue. Si tu veux dire par là "espace vectoriel topologique métrisable", alors la connexité est complètement triviale (par convention les evt sont sur $\R$ ou $\C$, sinon on précise) puisqu'un tel espace est connexe par arcs qui sont ... des segments de droite.
En dehors de ça, je ne vois pas trop en quoi demander si de tels espaces sont réunions dénombrable de sous-ensembles complets est vraiment moins général que demander la même chose pour des métriques quelconques. Ce n'est qu'une remarque.
Les complets sont des fermés. Et des fermés il n'y en a "pas beaucoup" en général à côté de tous les hyperplans denses, par exemple, que tu peux mettre dans un Hilbert. Il te suffit donc de te demander si tout hyperplan dense (le "dense" est inutile mais focalise l'attention) est réunion dénombrable de fermés dans ton Hilbert de grosse dimension préféré.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci christophe c pour cette réponse riche.
Oui oui espace vectoriel topologique métrisable, désolé. Et effectivement pour la connexité, ce qui fournit immédiatement que les seuls ouverts-fermés sont le vide et l'ev lui-même. Mais je m'intéresse ici à une démonstration qui ne fait pas intervenir la notion de connexité ni d'idée similaire.
Effectivement, mais en l'occurrence je m'intéresse aux ev, donc bon autant le laisser là.En dehors de ça, je ne vois pas trop en quoi demander si de tels espaces sont réunions dénombrable de sous-ensembles complets est vraiment moins général que demander la même chose pour des métriques quelconques. Ce n'est qu'une remarque.
Ce serait pour trouver un contre-exemple donc ?Les complets sont des fermés. Et des fermés il n'y en a "pas beaucoup" en général à côté de tous les hyperplans denses, par exemple, que tu peux mettre dans un Hilbert. Il te suffit donc de te demander si tout hyperplan dense (le "dense" est inutile mais focalise l'attention) est réunion dénombrable de fermés dans ton Hilbert de grosse dimension préféré. -
« c'est pour montrer de manière élégante qu'une partie à la fois ouverte et fermée d'un ev métrique est soit vide, soit l'ev entier »
« je m'intéresse ici à une démonstration qui ne fait pas intervenir la notion de connexité ni d'idée similaire. »
Tu connais la définition de « connexe » pour un espace topologique :-) ? -
Bien sûr
Ce que je veux dire, c'est que je ne veux pas passer par convexe => connexe par arcs => connexe -
OK :-). J'ai du mal à comprendre les contraintes que tu te fixes. Comment montrerais-tu alors par exemple la complétude d'un Banach avec tes idées ?
-
Je n'ai pas l'impression de me fixer de contrainte particulière, à part que je ne veux pas parler de connexité.
Pour la complétude, eh bien montrer qu'une suite de Cauchy converge dans l'ensemble, ou que toute série normalement convergente converge (cas normé), ou fermé dans un complet, ou ... -
Pardon. Comment montrerais-tu la connexité d'un Banach avec tes idées ?
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1528 : Dans le cas d'un ev de dimension finie E (ou alors un Banach), soit A un ouvert-fermé de E.
Alors
\[
A\cup A^c=E
\]
Par le lemme de Baire, $A=\emptyset$ ou $A^c=\emptyset$, c'est-à-dire $A=\emptyset$ ou $A=E$.
D'où la connexité de E. Et je n'ai pas l'impression de recopier le raisonnement qui passe par la connexité par arcs.
Dans le cas où E est de dimension infinie non complet, on peut aisément reproduire ce raisonnement si on peut écrire E comme union dénombrable de complets. Voilà.
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