Max fonction à 3 variables

$0<x,y,z\leq 1$ et $xyz=1,$ vraiment?

@YvesM

$g(x,y,z)$ est symétrique par rapport aux trois variables par permutations deux à deux. Si g a un optimum, il est atteint pour x=y=z=t.


Tiens tiens....

Bonjour,

Cet exercice est un défi. J'ai essayé pendant quatre heures : multiplicateurs de Lagrange, études de fonctions, majorations diverses et variées, utiliser la contrainte pour n'avoir que deux variables, changements de variables, convexités... je n'arrive à rien. En effet, les deux propositions que j'ai faites dans ce fil ne sont pas valides.

Qui trouvera un chemin vers une solution ?

L'énoncé est simple :
Soit $\displaystyle x,y,z$ trois réels strictement positifs tels que $\displaystyle xyz=1$, montrer que $\displaystyle {x+1 \over x^2-x+1} +{y+1 \over y^2-y+1} + {z+1 \over z^2-z+1} \leq 6 .$

Pour fixer les notations, on pose : $\displaystyle g(x,y,z) = {x+1 \over x^2-x+1} +{y+1 \over y^2-y+1} + {z+1 \over z^2-z+1}$ et $\displaystyle f(t) = {t+1 \over t^2-t+1}.$

En notant $D=t^2-t+1$ et $g(t)=(t+1)/D$ je trouve que $tg'(t)=-\frac{1}{D^2}t(t^2+2t-1)$ est une fonction decroissante sur $(0,\infty)$ car sa derive logarithmique est du signe oppose a $t^4+3t^3+4t^2+(t-1)^2+1>0.$ J'etudie les points stationnaires de $F(x,y)=g(x)+g(y)+g(1/xy)$ qui donnent $$g'(x)-\frac{1}{x^2y}g'(1/xy)=g'(y)-\frac{1}{xy^2}g'(1/xy)=0\Rightarrow xg'(x)=yg'(y)\Rightarrow x=y.$$ Je dois donc maintenant maximiser $F(x,x)$ de derivee $2g'(x)-2\frac{1}{x^3}g(1/x^2)$ nulle si et seulement si $$xg'(x)=\frac{1}{x^2}g'(\frac{1}{x^2})\Rightarrow x=1/x^2\Rightarrow x=1.$$ Le max de $F$ est atteint en $x=y=1.$

J'avais mal recopie et j'avais la meme chose que toi. Mais a partir de la j'ai peut etre une erreur dans $(tg'(t))'<0$ Mais plus de temps pour s'amuser aujourd.hui, on regardera cela plus tard.

Avec les notations ci dessus, les points stationnaires $(x,y,z)$ avec $ xyz=1$ et $x,y,z>0$ satisfont $xg'(x)=yg'(y)=zg'(z).$ Une analyse des variations de $x\mapsto xg'(x)$ montre que cette fonction ne peut pas prendre la meme valeur en trois points distincts. Donc deux des trois nombres $(x,y,z)$ (coordonnees d'un point stationnaire) sont donc egaux. Sans perte de generalite on suppose $x=y$ et on est donc amene a considerer
$$6-2g(x)-g(1/x^2)=\frac{(x-1)^2}{(x^3+1)(x^6+1)}(5x^7+8x^6+5x^5+5x^4+4x^3+x^2+4x+4)\geq 0.$$

Je partage ton insatisfaction, cher YvesM.

Bien occupe aujourd'hui pour comprendre et repondre. Amicalement.

Bonjour,

Voici une méthode plus rapide, mais je ne suis toujours pas satisfait.

On a, pour tout $\displaystyle x>0$, $\displaystyle g(x) = {x+1 \over x^2-x+1} \leq {4 \over x+1}$ et il suffit donc montrer que $\displaystyle f(x,y,z) = g(x) + g(y) + g(z) \leq 4({1 \over x+1}+{1 \over y+1}+{1 \over z+1}) \leq 6$ avec $\displaystyle xyz=1.$

Mais d'abord, la première inégalité est équivalente à $\displaystyle (x-1)^2 \geq 0.$ Je l'ai trouvée avec des considérations graphiques : je cherche une fonction convexe qui vaut $2$ en $x=1$ et qui est tangente à $g$ en ce point... faites un graphique pour voir.

Puis on se débarrasse de la contrainte en utilisant $\displaystyle z=\frac{1}{xy}$ et on a une fonction à deux variables : $\displaystyle \displaystyle (x,y) \mapsto {1 \over x+1} + {1 \over y+1} + 1- {1 \over xy+1}$... on calcule les dérivées partielles... on trouve qu'elles s'annulent pour $\displaystyle (1-y)(1-x^2y)=0$ et $\displaystyle (1-x)(1-xy^2) = 0.$ Ce système n'a comme solution que le couple $\displaystyle (x,y) = (1,1).$

Et donc on trouve bien $\displaystyle (x,y,z) = (1,1,1)$ comme solution. Mais c'est un maximum local, parce que, immédiatement, pour $x $ et $y$ proches de $0$, cette fonction vaut $2$... De plus, cette méthode est encore calculatoire car elle étudie une fonction.

Peut-on montrer simplement que, pour tous les réels $x,y,z$ strictement positifs tels que $\displaystyle xyz=1$, on a $\displaystyle {1 \over x+1}+{1 \over y+1}+{1 \over z+1} \leq \frac32$ ?

Je deviens fou X:-( avec cet énoncé : on ne peut pas le montrer parce que c'est faux ! Cette fonction vaut $2$ près de $\displaystyle (x,y,z)=(\varepsilon, \varepsilon, \frac{1}{\varepsilon^2})$