Convergence d'une suite x(n+1) = AB x(n)
Bonjour,
On considère une suite de la forme
x(n+1) = AB x(n)
ou x(i) est dans R^p, et A et B sont des matrices carrées. Les matrices A et B ne commutent pas et ne sont pas symétriques.
Je sais que le rayon spectral de A est égal à 1.
Y-a-t-il un résultat sympathique sur une condition de convergence de la suite portant sur B, du type "il suffit que son rayon spectral soit strictement inférieur à 1", ou autre ?
Merci d'avance pour vos réponses
On considère une suite de la forme
x(n+1) = AB x(n)
ou x(i) est dans R^p, et A et B sont des matrices carrées. Les matrices A et B ne commutent pas et ne sont pas symétriques.
Je sais que le rayon spectral de A est égal à 1.
Y-a-t-il un résultat sympathique sur une condition de convergence de la suite portant sur B, du type "il suffit que son rayon spectral soit strictement inférieur à 1", ou autre ?
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Réponses
Tu as deja $X_n$ est une suite geometrique donc
$$X_n=A^nB^nX_0,\, \forall n\in \N$$
après il y a theoreme qui donne des conditions nécessaires et suffisantes sur la convergence de la suite $C^n$ en fonction des valeurs propres de $C$ où $C$ une matrice carrée
Ici $C=AB$ à reflechir
C'est bien le problème que cette matrice $C = AB$.
Il faut que son rayon spectral soit strictement inférieur à 1. Je sais que le rayon spectral de $B$ est égal à 1. J'aimerais une condition sur $A$ sachant cette propriété de $B$.
Le problème est que tu n'as pas d'inégalité du type $\rho(AB)<\rho(A)\rho(B)$ puisque $A$ et $B$ ne commutent pas.
Je ne crois pas que tu peux faire mieux (si $\rho(A)=1$ et $\rho(B)<1$ tu ne peux pas rien dire sur $\rho(AB)$)
$$A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$
alors le rayon spectral de ces deux matrices est nul, alors que le rayon spectral de
$$ C = A*B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$
vaut 4 qui est strictement plus grand que 1.