Soit $f$ continue réelle telle que : $\quad \lim\limits_{n->\infty} f(nx)=0,\quad$ la limite pour $n$ entier, et pour tout $x>0$, alors est-ce que : $$\lim_{x->\infty} f(x)=0 \ ?$$
Je pense aussi qu'il faut appliquer un théorème, je ne sais pas trop comment cependant.
Le résultat doit être faux si on a seulement $f$ mesurable(?)...
$f(\frac{k}{p_n}) = 1$ si $k\leq p_n^2$ et $0$ sinon
$f(x) = 0$ sinon
Et alors :
Soit $x$ est irrationnel, et $\forall n, f(nx) = 0$
Soit $x = p/q$ et $f(np/q) =0$ à partir d'un certain rang (qui dépend des facteurs premiers de q)
Il y a aussi le cas complexe, avec $n$ un entier de Gauss, $z$ complexe, la limite de $f(nz)$ nulle pour la norme de l'entier de Gauss tendant vers l'infini... La limite de $f$ est-elle nulle dans les différents cas?
Une bonne generalisation serait au niveau de n. Si dans la question initiale tu remplaces n par $\sqrt n$ ou par $2^n$ le résultat reste t il vrai ? et tu peux conjecturer que si on remplace n par une suite $u_n$ vérifiant .. alors le resultat est vrai
Soit $G$ un groupe de Lie compact (essentiellement $SO(n)$) et $f$ une fonction continue sur $G$ telle que $$
\lim_{n->\infty} f(g^n)=0
$$ la limite en $n$ entier, pour tout $g \in G$ fixé.
Alors a-t-on
$$
f=0?
$$
Ne pourrait-on pas prouver le lemme de Croft en utilisant la transformée de Mellin et son inverse de la fonction
$$
F_N (x,\epsilon,s)=\sum_{n \geq N} f(nx) e^{-\epsilon nx} /n^s
$$
où $f$ est la fonction bornée que l'on considère? Il y a cependant des problèmes de définition...
Je ne suis pas convaincu par ce contre-exemple. Si $ f(p_n) = 1 $ alors $ \big(f(n)\big) $ ne peut converger vers $ 0 $. Donc l'hypothèse $$ \forall x > 0, \ \big(f(nx)\big) \to 0 $$ n'a pas l'air d'être vérifiée.
Je pense que $$ f : x \mapsto \sum_{k=1}^{+\infty} \ \delta_{x,e^k}, $$ où $ \delta $ désigne le symbole de Kronecker, fonctionne.
Réponses
Rédige une preuve, ça vient bien (grâce au "quel que soit x"), par exemple avec la définition de la limite.
Cordialement.
Le résultat doit être faux si on a seulement $f$ mesurable(?)...
$$
lim_x f(x)=0 , p.p.
$$
(presque partout)...(?)
Soit $p_n$ le n-ième nombre premier
Alors on défini
$f(\frac{k}{p_n}) = 1$ si $k\leq p_n^2$ et $0$ sinon
$f(x) = 0$ sinon
Et alors :
Soit $x$ est irrationnel, et $\forall n, f(nx) = 0$
Soit $x = p/q$ et $f(np/q) =0$ à partir d'un certain rang (qui dépend des facteurs premiers de q)
Mais $\forall n, f(p_n) = 1$
pour le cas où f est mesurable.
\lim_{n->\infty} f(g^n)=0
$$ la limite en $n$ entier, pour tout $g \in G$ fixé.
Alors a-t-on
$$
f=0?
$$
$$
F_N (x,\epsilon,s)=\sum_{n \geq N} f(nx) e^{-\epsilon nx} /n^s
$$
où $f$ est la fonction bornée que l'on considère? Il y a cependant des problèmes de définition...
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Bonsoir,
Je ne suis pas convaincu par ce contre-exemple. Si $ f(p_n) = 1 $ alors $ \big(f(n)\big) $ ne peut converger vers $ 0 $. Donc l'hypothèse $$ \forall x > 0, \ \big(f(nx)\big) \to 0 $$ n'a pas l'air d'être vérifiée.
Je pense que $$ f : x \mapsto \sum_{k=1}^{+\infty} \ \delta_{x,e^k}, $$ où $ \delta $ désigne le symbole de Kronecker, fonctionne.