Une limite

balan · April 2016

Soit $f$ continue réelle telle que : $\quad \lim\limits_{n->\infty} f(nx)=0,\quad$ la limite pour $n$ entier, et pour tout $x>0$, alors est-ce que : $$\lim_{x->\infty} f(x)=0 \ ?$$

gerard0 · April 2016

Bonjour.

Rédige une preuve, ça vient bien (grâce au "quel que soit x"), par exemple avec la définition de la limite.

Cordialement.

balan · April 2016

C'est une limite en $n$, pour quelque soit $x$, mais avec $x$ fixé...

AP · April 2016

Le résultat est bien vrai, mais je ne sais pas si tu pourras échapper au'théorème de Baire'

balan · April 2016

Je pense aussi qu'il faut appliquer un théorème, je ne sais pas trop comment cependant.
Le résultat doit être faux si on a seulement $f$ mesurable(?)...

gebrane · April 2016

C'est le lemme de Croft, une jolie application du Baire

balan · April 2016

Merci pour le théorème! Pour $f$ mesurable c'est faux, je pense avoir un contre-exemple...

gebrane · April 2016

comme gerard0 la souligner, on peut donner une preuve ( par l'absurde) sans le theoreme de Baire utilisant les segments emboités

balan · April 2016

Pour $f$ mesurable, on a peut-être
$$
lim_x f(x)=0 , p.p.
$$
(presque partout)...(?)

balan · April 2016

Du moins avec $f$ borélienne simplement, je pense qu'on a encore la limite...?

Tryss · April 2016

Un contre exemple dans le cas non continu :

Soit $p_n$ le n-ième nombre premier

Alors on défini

$f(\frac{k}{p_n}) = 1$ si $k\leq p_n^2$ et $0$ sinon
$f(x) = 0$ sinon

Et alors :
Soit $x$ est irrationnel, et $\forall n, f(nx) = 0$
Soit $x = p/q$ et $f(np/q) =0$ à partir d'un certain rang (qui dépend des facteurs premiers de q)

Mais $\forall n, f(p_n) = 1$

balan · April 2016

Dans le cas mesurable, on a peut-être tout de même la limite presque partout...?

etanche · April 2016

F.C.Kingman,Ergodicpropertiesofcontinuous-timeMarkov processesandtheirdiscreteskeletons.Proc.LondonMath.Soc. (3)13(1963)

pour le cas où f est mesurable.

balan · May 2016

Merci pour la référence. Dans le cas périodique, a-t-on $f=0$?

etanche · May 2016

Oui j avais vu un article avec périodique aussi.

balan · May 2016

Il y a aussi le cas complexe, avec $n$ un entier de Gauss, $z$ complexe, la limite de $f(nz)$ nulle pour la norme de l'entier de Gauss tendant vers l'infini... La limite de $f$ est-elle nulle dans les différents cas?

gebrane · May 2016

Une bonne generalisation serait au niveau de n. Si dans la question initiale tu remplaces n par $\sqrt n$ ou par $2^n$ le résultat reste t il vrai ? et tu peux conjecturer que si on remplace n par une suite $u_n$ vérifiant .. alors le resultat est vrai

balan · May 2016

Ou avec des matrices, $A$ une matrice entière, $f(A^n X)$ tend vers zéro quand $n$ tend vers l'infini...

balan · May 2016

Soit $G$ un groupe de Lie compact (essentiellement $SO(n)$) et $f$ une fonction continue sur $G$ telle que $$
\lim_{n->\infty} f(g^n)=0
$$ la limite en $n$ entier, pour tout $g \in G$ fixé.
Alors a-t-on
$$
f=0?
$$

balan · May 2016

Ne pourrait-on pas prouver le lemme de Croft en utilisant la transformée de Mellin et son inverse de la fonction
$$
F_N (x,\epsilon,s)=\sum_{n \geq N} f(nx) e^{-\epsilon nx} /n^s
$$
où $f$ est la fonction bornée que l'on considère? Il y a cependant des problèmes de définition...

aurelien59 · May 2016

Tryss écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1262869,1262983#msg-1262983
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

Bonsoir,

Je ne suis pas convaincu par ce contre-exemple. Si $ f(p_n) = 1 $ alors $ \big(f(n)\big) $ ne peut converger vers $ 0 $. Donc l'hypothèse $$ \forall x > 0, \ \big(f(nx)\big) \to 0 $$ n'a pas l'air d'être vérifiée.
Je pense que $$ f : x \mapsto \sum_{k=1}^{+\infty} \ \delta_{x,e^k}, $$ où $ \delta $ désigne le symbole de Kronecker, fonctionne.

Une limite

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