Application réciproque

didier60
didier60
Modifié (February 2023) dans Analyse
Bonjour, voici ce que je lis dans un livre d'analyse MPSI.

Soif f une fonction de R dans R vérifiant : f o f - 2 f = id
alors f est bijective et sa réciproque est f - 2id

Ma question est :
je vois bien pourquoi ( f - 2id ) o f = id (définition d'une somme de fonctions donc on "retombe" sur la relation dans l'énoncé)
Mais pourquoi f o (f-2Id) = Id ? ça marche si f est linéaire, mais dans le cas général... ?
Si quelqu'un peut m'éclairer.
Merci d'avance
Didier

Réponses

  • Foys
    Foys
    Si $f:\R \to \R$ est telle que $(f-2id) \circ f=id$ alors $f$ est forcément injective et surjective (le montrer). Après on conclut.

    EDIT non ce n'est pas évident. Y a-t-il d'autres hypothèses? (par exemple: si $f$ est décroissante alors $x \mapsto f(x)-2x$ est strictement décroissante donc injective et comme on sait qu'elle est surjective elle est bijective).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bruno
    Bruno
    Modifié (February 2023)
    Peut-être tout simplement [f \circ (f - 2\,\mathrm{Id}) = f \circ f - 2(f \circ\mathrm{Id}) = f \circ f - 2\,f = \cdots\]
    Bruno
  • didier60
    didier60
    Pour écrire cela, il faut supposer f linéaire non ? sinon pourquoi f o (f - 2id) = f o f - 2 f o id ?
  • Bruno
    Bruno
    D'accord j'ai écrit trop vite :-S !

    Bruno
  • didier60
    didier60
    le côté injectif, j'arrive à montrer
    mais pas le côté surjectif !

    Possible d'avoir une aide ? merci
  • didier60
    didier60
    Le livre n'écrit que ca et il n'y a aucune autre hypothèse

    f o (f - 2id)= (f-2id) o f = id donc f est bijective...
    Du coup, je me dis qu'il y a une erreur ; d'autant plus que c'est un exemple parmi d'autres et que si c'était jugé difficile, l'auteur aurait plus détaillé !
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour subjectif, je sais c'est évident, mais la fonction $id$ est surjective. La relation qui définit $f$ peut être écrite sous une forme qui montre que nécessairement $f$ est surjective car $id$ est surjective.

    Ecris une démonstration rigoureuse...
  • Tryss
    Tryss
    Je ne vois pas pourquoi $f\circ f -2f$ (ou une autre variation simple) surjective entraine f surjective de façon simple, mais je dois passer à coter d'un truc simple
  • didier60
    didier60
    Désolé, je ne vois pas du tout !
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    J'écris des choses et tu t'en inspires si tu veux :

    On sait $f \circ f - 2f = I_d$ et donc on a aussi $f \circ (f-2I_d) = I_d.$ A droite, $I_d$ est surjective. Du fait de l'égalité, à gauche, la chose $f \circ (f-2I_d)$ est donc surjective.
  • didier60
    didier60
    Dans ce cas, je ne comprends pas pourquoi f o (f-2id) = id !
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,
    D’après ce fil, il manque soit la continuité de f soit sa linearité pour conclure http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/570287-fonction-composee-fof-2f-id-0-etude.html
    Le 😄 Farceur


  • YvesM
    YvesM
    Modifié (February 2023)
    Bonjour,

    Oui je vois, mais tu peux faire la même chose avec $(f-2I_d) \circ f = I_d.$ Si c'est plus facile, tu peux considérer $f(x)=y$...

    Que peut-on dire sur $u$ (et $v$) si $u \circ v$ est surjective ? Se peut-il que $u$ ne soit pas surjective ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Comme on demande de montrer que $f$ est bijective sur $\R$, j'ai supposé que la continuité est une hypothèse...
  • Tryss
    Tryss
    Bah, il y a des fonctions bijectives qui ne sont pas continues.

    Et je ne vois pas comment dédire directement de f -2Id est surjective que f est surjective. C'est d'ailleurs grossièrement faux (prendre f = 0)
  • gebrane
    gebrane
    @Tryss
    Bonjour
    je n'ai pas regardé tout le fil , mais quel est le rapport avec la question initiale?
    Le 😄 Farceur


  • Tryss
    Tryss
    Je rebondissais sur les messages de YvesM. A moins que je n'ai pas compris son indication
  • gebrane
    gebrane
    Si on résume la situation, soit $f:\R \to \R$ une application telle que $$f \circ f - 2f = I_d$$
    1- On déduit que f est injective
    2- si f est linéaire, on déduit que f est surjective
    3- si f est continue, on déduit que f est surjective
    4- sans hypothèses supplémentaires, il faut chercher un contre exemple
    Le 😄 Farceur


  • didier60
    didier60
    Pourquoi si f est continue peut-on en déduire que f est surjective ?
  • gebrane
    gebrane
    Tu supposes par l'absurde que f est bornée
    Le 😄 Farceur


  • etanche
    etanche
    À un réel
    $x_n=f\circ f\circ\cdots\circ f$ on compose $n$ fois
    On a
    $x_{n+2}-2x_{n+1}-x_n=0$ suite linéaire

    Faut résoudre , puis $ f(x)=x_1$
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (February 2023)
    @etanche
    Tu ne peux pas conclure!
    Tu confonds peut être ce problème avec le problème classique: Trouver toutes les fonction $f :[0,1]\to[0,1]$ telle que $f\circ f-2f+Id=0 $
    Le 😄 Farceur


  • etanche
    etanche
    Modifié (February 2023)
    Pourquoi tu dis on ne peut pas conclure ?

    L'équation caratéristique est $t^2-2t-1=0$

    $x_n=A.a^n +B.b^n$ avec $a=1+\sqrt{2}$ , $b=1-\sqrt{2}$

    On a le système

    $x_0=x=A +B$
    $x_1=f(x)=A.a +B.b$

    on résout, on trouve $A,B$.

    d'où $f(x)=2A\sqrt{2}+(1-\sqrt{2})x$ la réciproque est immédiate.

    Même méthode que pour OIM 1992 Olympiade Internationnale de Mathématiques
    a>0,b>0 déterminer les f de R+ dans R+ , telle que pour tout $x\geq 0$ ,$f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$
    Référence: Cours Équations fonctionnelles de Olympiade Française Mathématiques disponible sur animath (voir page 14).
  • Crapul
    Crapul
    Mais ton $A$ est en fait un $A (x,f)$, non ?
  • Tryss
    Tryss
    Comment tu trouves $A$? C'est le même pour tout les $x$?

    edit : même question que Crapul en fait
  • gebrane
    gebrane
    Tu ne peux pas conclure car A et B dépendent de $x_0=x$
    pour être plus rigoureux il fallait écrire A(x) et non pas A et puisque tu connais pas A(x), tu ne connaîtra pas f(x)
    ( par contre dans l'exercice 4 de ce document c'est différent http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00103.pdf )

    edit grillé par Tryss et Crapul
    Le 😄 Farceur


  • etanche
    etanche
    Modifié (February 2023)
    Pensez-vous que la solution de OIM 1992 ici
    http://imomath.com/index.php?options=341&lmm=0
    est fausse ?
  • Tryss
    Tryss
    Dans ce problème, tu as une condition supplémentaire qui impose B=0, et qui te permet de calculer la valeur de A explicitement et de façon unique.

    Retire le fait que a>0 et b>0 ou que la fonction est à valeur dans R+, et ça marche plus
  • gebrane
    gebrane
    mais ce n'est pas le meme probleme f est valeurs positives
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Modifié (February 2023)
    @didier60
    Est-ce que tu peux revérifier si l’équation est plutôt $$f\circ f-2f+Id=0.$$
    Le 😄 Farceur


  • Clairon
    Clairon
    Modifié (February 2023)
    Hello les amis, 
    Je fais remonter ce fil.
    Visiblement, l'exo n'est pas si facile que cela... Un exercice d'Olympiades ???

    Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue telle que $f \circ f - 2 f + id = 0$.
    Alors $f$ est une translation.

    Je pose $g : x \mapsto f(x) - x$. L'objectif étant de montrer que $g$ est constante.

    On arrive à montrer que $f$ est bijective (la surjectivité exploite la continuité). 
    Puis on montre que $f$ est monotone, nécessairement croissante.
    Puis, on montre que :  $$
    \forall n \in \mathbb{N},\quad f^n = \mathrm{id} + n g
    $$ Comment peut-on conclure ?
    Merci pour vos idées.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,
    Supposons qu'il existe $a$ tel que $f(a)\neq a$, disons $f(a)>a$. Alors, pour tout $x\in \left]a,f(a)\right[$ et tout entier $n>0$, on a $f^n(a)<f^n(x)<f^{n+1}(a)$ et on en déduit $g(x)=g(a)$ en faisant tendre $n$ vers l'infini.
  • marco
    marco
    Modifié (February 2023)
    Si $f \circ f=\mathrm{id}+2g$, alors $(g+\mathrm{id})\circ (g+\mathrm{id})=\mathrm{id}+2g$.
    Donc $g\circ(g+\mathrm{id})=g$.
    $g$ est continue. Si elle n'est pas constante, il existe deux valeurs, non nulles de même signe, $t=g(x)$ et $u=g(y)$ appartenant à l'image de $g$ telles que $t/u \notin \Q$.
    Donc $g(g(x)+x)=g(x)$, donc $g(t+x)=t$. Don $g(x+kt)=t$ pour $k \in \N$.
    De même $g(y+ku)=u$ pour $k \in \N$.
    Si $t>u$, alors soit $v=t-u>0$.
    Soit $k$ et $n \in \N$, tels que, si on note $X=x+kt$ et $Y=y+nu$, on a $X<Y$ et $Y-X<v/2$.
    Alors $f(X)=X+g(X)=X+t$
    Et $f(Y)=Y+g(Y)=Y+u$.
    Donc $f(X)-f(Y)=X-Y+t-u>v/2$. Donc $f(X)>f(Y)$ or $X<Y$. Donc $f$ non croissante.
  • JLapin
    JLapin
    On commence par observer que la formule $f^n(x)= x+n(f(x)-x)$ est valable également pour les entiers négatifs.
    On obtient ainsi pour tout $x\in \R$ le fait que $f(x)-x$ est la limite quand $n\to +\infty$ de $\frac{f^n(x)}{n}$ et aussi la limite quand $n$ tend vers $-\infty$ de $\frac{f^n(x)}{n}$.

    Soit $a\leq b$ deux réels.
    Pour tout entier relatif $n$, $f^n$ est une fonction croissante donc $f^n(a)\leq f^n(b)$.
    Ensuite, on divise par $n$ et en mettant l'inégalité dans le bon sens suivant le signe de $n$ et en faisant tendre $n$ vers $+\infty$ et vers $-\infty$, on obtient $f(a)-a\leq f(b)-b$ et $f(a)-a\geq f(b)-b$.
  • Clairon
    Clairon
    Wonderful !
    Merci GaBuZoMeuMC  ;)
    Et merci marco (même si la solution de GBZM est très belle !)
  • JLapin
    JLapin

    Je n'ai pas le droit à une mention honorable ? :)

  • Clairon
    Clairon
    Oulala ! Mais que c'est joli ! 
    Merci JLapin 

    PS : ta réponse est arrivée en même temps que mon précédent message... réponse que je n'avais donc pas vue !
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