Exo très difficile niveau TS

Qu'appelles-tu "niveau TS"? Il n'y a plus "vraiment" de maths avant le bac, donc "niveau TS" ne veut pas dire grand chose et c'est essentiellement la même chose que "niveau TES" ou "niveau "STMG" actuellement (je parle pour la définition des concepts).

Si tu veux parler de "ne mettant en oeuvre que des notions parfaitement définies avant le bac", c'est pareil, le problème est que ce n'est pas défini de manière ferme.

Bon cela dit, tu peux toujours essayer de prouver que $\pi$ n'est pas rationnel à coup d'intégrales, c'est faisable et "très difficile" comme tu le demandes.

Autre exemple (pas difficile mais profondément chiant), trouve une formule qui permet de donner l'aire d'une ellipse en fonction de sa longueur et sa largeur (avec longueur = largeur dans le cas du cercle). C'est une bonne façon corvéeuse de te mettre sur un projet long mais menable à bout sans rempart si tu es patient.

Educ:

Prouve que $\displaystyle \int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$

Plus difficile:
Prouve seulement avec le cours de TS que $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$

@educ: pense à nous confier ton projet plus global, si tu veux. Tu as l'air volontaire et poste de manière diversifiée. Le fait de signaler le plan global qui est le tien permettra peut-être qu'on t'aide à aiguiller tes "lectures"

Pour montrer que:


$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}dx=\dfrac{\pi}{4}$


Je propose l'exercice suivant:

Le but de cet exercice est de donner une valeur exacte de $I=\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}dx$

1) Pour tout $x$ réel on définit $F(x)=\displaystyle \int_0^x \dfrac{1}{1+t^2}dt$
Donner une expression de la fonction dérivée de $F$.

2) Pour $\theta \in [0,\tfrac{\pi}{2}[$ on définit la fonction $G(\theta)=F(\tan \theta)$.
a) Que vaut $G(0)$ ?
b) Calculer la fonction dérivée de $G$.
c) En déduire la valeur de $G\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
d) Que vaut $\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$? En déduire une valeur exacte de $I$.

@YvesM ,

elle recèle toutefois un changement de variables sous-jacent ... bien qu'il soit inutile de le poser ...

YvesM a écrit:

Je pense que moins d'un élève par classe en TS (en France) trouvera cette intégrale, pourtant évidente.

Evidente?

Si on sait dériver une fonction composée assez générale?


A l'heure actuelle, en terminale S, un élève, en principe ne sait pas dériver une fonction composée générale, il est censé connaître quelques exemples comme la dérivée de $\exp(r(x))$

Ce qui fait qu'une des questions dans l'exercice que je propose plus haut est vraiment hors programme du fait de la méconnaissance de la formule qui donne la dérivée d'une fonction composée.

Oui cette dérivé est connue ainsi que:

Les dérivées de $\exp(r(x))$, $u(x)^n$, $\sqrt{u(x)}$ et $f(ax+b)$

Mais, sauf erreur, pour calculer l'intégrale que tu proposes il faut savoir dériver $(\ln(\cos x))^2$

@fdp : bin si dans ton point (2).
Pour la dérivée d'une composée même si ce n'est pas officiellement au programme je pense qu'il n'y a pas beaucoup de profs sérieux (or ils le sont) qui ne le font pas (raisons pratiques)

Christophe:
Oui, en effet. J'ai sorti cet énoncé en quelques minutes il ne faut pas s'étonner qu'il ait sa "courbe (dé)croissante" lui aussi

Le PDF de Héhéhé m'a rappelé un problème tiré d'un vieux manuel de Terminale C (je l'ai déjà posté ici mais je n'ai pas réussi à retrouver le message hélas)

Ce problème a pour but de calculer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right)$

Début de l'énoncé recopié:

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ définie par:

$\displaystyle f(x)=\int_0^{\tfrac{\pi}{4}} e^{-\tfrac{x}{(\cos t)^2}}dt$

Montrer que, pour tout $x\geq 0$, $f(x)\leq e^{-x}$
Quelle est la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$?

b) Montrer que, pour tout réel $b>0$ et pour tout $x$ dans $\mathbb{R}$:

$x\leq b \Longrightarrow e^x-1-x\leq \dfrac{1}{2}e^bx^2$

et:

$x\geq -b \Longrightarrow e^x-1-x\geq \dfrac{1}{2}e^{-b}x^2$


Montrer que, pour tout réel $a$ il existe une application $\varphi_a$, de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, continue en $a$ , telle que $\varphi_a(0)=0$ et que pour tout $x$ réel:

$\displaystyle f(x)-f(a)=(x-a)\left[\varphi_a(x)-\int_0^{\tfrac{\pi}{4}} \dfrac{e^{-\tfrac{a}{(\cos t)^2}}}{(\cos t)^2}dt\right]$


En déduire que $f$ est dérivable et préciser sa dérivée $f'$.


c) Soit $P$ une primitive sur $\mathbb{R}$ de l'application $u\rightarrow e^{-u^2}$.

A tout réel $x$, on associe l'application $Q_x$, de $I=\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$ dans $\mathbb{R}$, telle que:

$\forall t\in I,Q_x(t)=P(x\tan t)$.

Montrer que $Q_x$ est dérivable; expliciter sa dérivée.

Prouver que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $\displaystyle \int_0^x e^{-u^2}du=x\int_0^{\tfrac{\pi}{4}} \dfrac{e^{-x^2(\tan t)^2}}{(\cos t)^2}dt$

d) Soit $g$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, définie par $g(x)=f(x^2)$.
Soit $g'$ sa dérivée. Montrer que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,

$\displaystyle g'(x)=-2e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2}dt$

Que peut-on dire de la fonction $h$ telle que: $\forall x\in \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x)=g(x)+\left(\int_0^x e^{-t^2}dt\right)^2$ ?

Quelle est la limite de $\displaystyle \int_0^x e^{-t^2}dt$ quand $x$ tend vers $+\infty$?

Référence:
Mathématiques, Terminales C et E, analyse et statistique, IREM Strasbourg, éditeur Istra, 1983.
J'ai recopié l'énoncé tel quel (avec peut-être des fautes de frappe). Dans ce manuel scolaire il est indiqué la mention:
D'après un sujet de bac (que je n'ai jamais réussi à identifier).

PS:
Est-ce la peine de préciser que c'est du "maousse costaud" au niveau terminale ? B-)-

Educ:

On n'avait pas ce type de sujet au bac en 1983. J'aurais bien été incapable de faire toutes les questions.
Dans ce manuel scolaire cet exercice est crédité de deux étoiles c'est à dire considéré comme très difficile.


PS:
Il faut arrêter de croire qu'on peut comparer les sujets de bac en remontant à Mathusalem. C'est presque un non-sens.
Jette un oeil à des sujets de bac de 1951 et 1952.
http://www.apmep.fr/Bac-C-1951-52-sujets

Est-ce que ces sujets étaient plus difficiles que des sujets de maintenant? Bien malin qui peut répondre à cela ou si même cette question a un sens.
(je ne comprends même pas toutes les questions)

PS:
Par contre, ce qui est sûr est que celui ou celle qui a passé le bac en 1952 et qui n'a pas continué à étudier les mathématiques ne comprend surement rien (si on laisse de côté son grand âge) à ce qui est écrit dans un manuel scolaire d'aujourd'hui.

@YvesM : moins d'un par classe honnêtement. Je pense que même pas 1% (je pense être gentil) le trouverait !

@Educ : j'ai des exos difficiles en dérivation / intégration je les retrouverais, mais est-ce que tu es aussi intéressé par la géométrie ? Il y a des problèmes d'olympiades (académiques) assez difficiles. Sinon il y a toujours les IMO (mais je te le déconseille en fait).

Un élève de terminale ne perdrait pas son temps à regarder ça:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1242723,1243927#msg-1243927

Mickaël:

N'y-a-t-il pas trop de renseignements dans ta deuxième question?

Fin de partie le sujet que tu as posté intégrale
de Gauss , c est le sujet bac C Liban 1978.
Il est aussi sur le site APMEP .
C est un de mes sujets bac C préféré.

Etanche:

Merci pour cette réponse. Je m'en vais le télécharger.

@Balix c'est une bonne idée...Surtout que ca touche beaucoup de choses du programme de maths

Educ:

Oui, voilà.

Etanche a écrit:

Le pourcentage d 'élèves qui ont au mois 10/20 ?

L'exercice d'arithmétique pouvait être traité par un collégien de cette époque. 4 points gagnés facilement si on avait un peu la foi (et une table de nombres premiers)

PS:
Cela dit, le problème d'analyse est vraiment sympa même si infaisable de nos jours par un lycéen terminale S.
J'ai proposé une correction http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,968363 de la question 2)b), qui si elle est correcte, me semble cohérente avec ce qui est démontré dans la question 2)a et était, sans doute, ce qu'attendait comme réponse les concepteurs de ce sujet magnifique.