Somme série
Bonjour
$b_1=x>0$, $3b_{n+1}=(b_n+1)^3-5$
Calculer la somme de la série $\quad\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}$
Mon idée est d'écrire $\dfrac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}=F(n)-F(n+1)$
Comment exploiter la relation de récurrence et $\dfrac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}$ pour déterminer $F(n)$ ?
Une remarque $3b_{n+1}-3=(b_n+1)^3-8=(b_n-1)(b_n^2+3b_n+7)$
Merci.
$b_1=x>0$, $3b_{n+1}=(b_n+1)^3-5$
Calculer la somme de la série $\quad\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}$
Mon idée est d'écrire $\dfrac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}=F(n)-F(n+1)$
Comment exploiter la relation de récurrence et $\dfrac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}$ pour déterminer $F(n)$ ?
Une remarque $3b_{n+1}-3=(b_n+1)^3-8=(b_n-1)(b_n^2+3b_n+7)$
Merci.
Réponses
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Merci pour l'indication F(n) trouvé :-)
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Et pour ceux que ça intéresserait, comment as-tu trouvé $F(n)$ ?
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Je m'auto-réponds : en cherchant $F(n)$ sous la forme d'une fraction rationnelle en $b_n$, on trouve (après calculs et résolutions pour trouver les coefficients) : $F(n) = \dfrac{1}{b_n+2}$.
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Oui c est ça.
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