Somme série

Bonjour

$b_1=x>0$, $3b_{n+1}=(b_n+1)^3-5$
Calculer la somme de la série $\quad\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}$

Mon idée est d'écrire $\dfrac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}=F(n)-F(n+1)$
Comment exploiter la relation de récurrence et $\dfrac{b_n-1}{b_n^2+b_n+1}$ pour déterminer $F(n)$ ?

Une remarque $3b_{n+1}-3=(b_n+1)^3-8=(b_n-1)(b_n^2+3b_n+7)$
Merci.