Voici quelques idées qui ne me permettent pas de résoudre le cas général. Ecrivons $r=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux. Notons $T_q$ le $q$-ième polynôme de Tchebycheff (i.e. $T_q(2\cos\theta)=2\cos(q\theta)$).
Soit $x=2\cos(r.2\pi)$. C'est un entier algébrique car $T_q(x)=2$. Comme $x^m$ est rationnel, c'est un entier. Notons-le $N$.
Si $N$ est une puissance $m$-ième, alors $x$ est un entier, donc $x=0$ ou $x=\pm 1$ ou $x=\pm 2$.
Si $N$ n'est pas une puissance $m$-ième, alors $X^m-N$ est irréductible sur $\Z$. D'autre part, $x$ est de degré $\varphi(q)/2$ sur $\Q$ donc $m=\frac{\varphi(q)}{2}$.
Dans le cas particulier où $m=3$, on obtient $\varphi(q)=6$ donc $q\in \{7,14,9,18\}$ mais aucune valeur de $p$ ne convient.
Réponses
Une idée que je n'ai pas creusée: $\displaystyle \cos(rx)=\frac{e^{irx}+e^{-irx}}{2}$
Cordialement.
il est algébrique.
Pour m=1 on a un résultat :
Si $\cos(r2\pi)$ est rationnel alors les valeurs de $\cos(r2\pi) $
sont 0;1/2;-1/2;-1;1
-->
Pour m=2
si $\cos^2(r2\pi)$ est rationnel alors les valeurs de $\cos(r2\pi) $
0; $\pm 1$ ; $\frac{\pm\sqrt{2}}{2}$ ;$\frac{\pm\sqrt{3}}{2}$
--> pour m=3
si $\cos^3(r2\pi)$ est rationnel quels sont les valeurs de $\cos(r2\pi) $ ?
Soit $x=2\cos(r.2\pi)$. C'est un entier algébrique car $T_q(x)=2$. Comme $x^m$ est rationnel, c'est un entier. Notons-le $N$.
Si $N$ est une puissance $m$-ième, alors $x$ est un entier, donc $x=0$ ou $x=\pm 1$ ou $x=\pm 2$.
Si $N$ n'est pas une puissance $m$-ième, alors $X^m-N$ est irréductible sur $\Z$. D'autre part, $x$ est de degré $\varphi(q)/2$ sur $\Q$ donc $m=\frac{\varphi(q)}{2}$.
Dans le cas particulier où $m=3$, on obtient $\varphi(q)=6$ donc $q\in \{7,14,9,18\}$ mais aucune valeur de $p$ ne convient.