Inégalité nombres réels
Bonjour
n>2 entier , $(y_n)$ des réelles avec $2y_{k+1}\leq y_k+y_{k+2}$ pour
$1\leq k \leq n-2$ .
On suppose aussi $\sum_{k=1}^{n}y_k=0$
Montrer que $(n+1)\sum_{k=1}^{n}ky_k \leq \sum_{k=1}^{n}k^2y_k $
Dans quel cas a t-on l'égalité.
Par récurrence je rencontre quelques soucis
pour minorer $ \sum_{k=1}^{n}k^2y_k + (n+1)^2y_{n+1} $ afin d'obtenir
$(n+2)\sum_{k=1}^{n+1}ky_k$
Merci pour un peu de lumière.
n>2 entier , $(y_n)$ des réelles avec $2y_{k+1}\leq y_k+y_{k+2}$ pour
$1\leq k \leq n-2$ .
On suppose aussi $\sum_{k=1}^{n}y_k=0$
Montrer que $(n+1)\sum_{k=1}^{n}ky_k \leq \sum_{k=1}^{n}k^2y_k $
Dans quel cas a t-on l'égalité.
Par récurrence je rencontre quelques soucis
pour minorer $ \sum_{k=1}^{n}k^2y_k + (n+1)^2y_{n+1} $ afin d'obtenir
$(n+2)\sum_{k=1}^{n+1}ky_k$
Merci pour un peu de lumière.
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Réponses
Les cas n=3 , n=4, n=5 j'ai réussi.
En ajoutant toutes les inégalités $2y_{k+1}\leq y_k+y_{k+2}$ pour $1\leq k \leq n-2$
on obtient $y_2+y_{n-1}\leq y_1+y_{n}$ comment utiliser cette inégalité ?
Je n'ai pas trouvé de démonstration par récurrence.
Mais en regardant pour les premières valeurs de $n$ j'ai trouvé, pour une suite $(y_k)$ quelconque, une expression de $3\displaystyle\sum_{k=1}^n k(n+1-k)y_k$ comme combinaison linéaire à coefficients entiers positifs de $\displaystyle\sum_{k=1}^n y_k$ et des $(2y_k-y_{k-1}-y_{k+1})$ pour $2\leq k\leq n-1$ (les coefficients sont des coefficients binomiaux ou des produits de coefficients binomiaux).
Une fois qu'on a trouvé cette égalité, sa démonstration n'est pas difficile (un peu de calcul).
L'inégalité proposée et le cas d'égalité s'en déduisent facilement.