[Ag. Int.] Leçon ex. d'équ. fonctionnelles

J'ai quelques idées sur les équations fonctionnelles, mais pas trop sur le format "leçon d'agreg".

Peut-être butiner sur les messages de ce forum portant sur ce sujet.

Peut-être commencer par les équations fonctionnelles des fonctions usuelles :
- Les quatre de Cauchy : $f(x+y)=f(x)+f(y)$, $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(xy)=f(x)+f(y)$, $f(xy)=f(x)f(y)$.
- Les trigo : $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$ et autres.
- Quadratiques et log-quadratiques : $f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+f(y))$, $f(x+y)f(x-y)=f(x)^2 f(y)^2$, $f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=f(x)f(y)$.

Voir les méthodes, par exemple le "renforcement", dont nous avons parlé il y a peu et qui consiste à transformer une équation fonctionnelle en équation différentielle, et à la faire ainsi entrer dans le champ des questions enseignées.

Préciser les conditions supplémentaires posées avec l'équation fonctionnelle.

Peut-être aller jusqu'à l'équation fonctionnelle de la fonction Gamma.

Applications : géométrie, mécanique, Probabilités,...

Il y a eu un article dans "Quadrature" n° 35, janvier-mars 1999, qui recense les équations fonctionnelles des fonctions usuelles, avec présentation des méthodes (avec une erreur d'appellation et une erreur mathématique sur la fin).

Où trouve-t-on la liste de ces leçons ?

Toujours disponible pour répondre plus précisément sur tel ou tel point.

Bon courage. Bonne journée.
F. Ch.

Les cours d'Animath, de Pierre Bornsztein et Mounibool Omarjee, est excellent pour son objet qui est de viser les équations fonctionnelles proposées dans les compétitions mathématiques à l'intention des élèves de l'enseignement secondaire, depuis les olympiades françaises jusqu'aux olympiades internationales.

Mais attention, dans ces compétitions, ces équations fonctionnelles sont posées généralement sans condition supplémentaire telle que continuité, dérivabilité, etc. Ce sont seulement des exercices de manipulations algébriques, le plus souvent ardus et attractifs, mais limités dans leur objet. Je ne suis pas certain que ceci convienne pour une leçon d'agrégation.

Un exemple : trouver les fonctions continues (resp. continues par morceaux, réglées) $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telles que : $\forall x\in \mathbb{R}, \forall y\in \mathbb{R},\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt=f(x)f(y)$,
c'est une équation fonctionnelle, qui n'est pas purement algébrique, et qui pourrait peut-être convenir pour l'agrégation.

Ce n'est qu'un avis extérieur de quelqu’un qui n'a aucun lien avec les compétitions mathématiques ni la préparation à l'agrégation. Peut-être des collègues plus impliqués dans ces choses pourraient-ils donner leur avis.

Bonne journée.
F. Ch.

Je répète :peut-on me communiquer un lien vers la liste des leçons d'agrégation, interne comme externe ?

C'est agréable d'apprendre que le Quinet a pu servir assez récemment pour une leçon d'agrégation. Livre dans lequel beaucoup de gens ont découvert et nourri leur goût pour les mathématiques (il y a eu des témoignages sur ce forum). Livre dont le style est si éloigné des ouvrages plus récents et que certains débatteurs de ce forum ne considéreraient même pas comme des ouvrages de mathématiques !

Un développent pour cette leçon : le théorème de Bohr-Mollerup.

À maîtriser : la fonction gamma.

Bonjour,

sur le site de culture maths on trouve ceci. Un beau panorama par L. G. Vidiani. C'est une très belle synthèse qui demande un gros travail de lecture mais avec beaucoup d'exemples originaux et un bibliographie importante.


Cordialement.