Isométrie EVN non affine

Soit $f:E\to E$ une isométrie d'un espace vectoriel normé réel de dimension finie dans lui-même. D'après le théorème de l'invariance du domaine, $f$ est ouverte. Montrons que l'image de $f$ est fermée. Si $f(x_n)$ est une suite convergente, elle est de Cauchy, donc $(x_n)$ aussi. Comme $E$ est complet, $(x_n)$ converge vers un élément $a\in E$. Par continuité de $f$, la suite $f(x_n)$ converge vers $f(a)$.

Comme $E$ est connexe, l'image de $f$ est $E$. D'après le théorème de Mazur-Ulam, $f$ est affine.

[small]:-D:-D je tombe sur ce fil d'il y a deux mois en faisant une recherche sur ton pseudo pour essayer de deviner si tu n'es pas rc...[/small]

Comme tu n'es pas superconvival avec moi, je ne vais pas en poster 150 lignes (pour peut-être ne pas recevoir de "merci"..)

Conséquence en quelques lignes de Brouwer canal historique (point fixe), je ne sais pas. Mais c'est effectivement une brouwererie (ou mieux une "Stokerie"). Plus précisément, les deux sont essentiellement des conséquences relativement faciles de phénomènes de "<calcul de volume"> en quelque sorte. Pas besoin de passer par la topologie algébrique (qui démontre la même chose en (beaucoup beaucoup) plus compliqué).

Mais attention: on a (1) fastimplique (2) et (1) fastimplique (3) où (1) est la formule ci-dessous, (2) est le th de Brouwer et (3) est l'invariance du domaine. Mais j'ignore si on a (2) fastimplique (3)

Il y a une formule célèbre je crois qui dit que $$\int_{\R^n} f(j(x)) det(Dj(x)) dx = \int_{\R^n} f(x)dx$$ (je ne sais plus si c'est celle-là qu'on appelle formule de Stokes).
Elle est valable pour $f: \R^n\to \R$ à support compact et continue (ou juste même mesurable, je ne sais plus) et $j: \R^n\to \R^n$ qui est $C^1$ et où $j-id$ a un support compact (autrement dit, $j$ est proche de l'identité en un certain sens)

En gros, c'est une généralisation de ce qu'on enseignait en TS quand l'école marchait encore un peu, en multidimension.

Ca entraine un phénomène puissant qui est bien plus parlant que l'invariance du domaine qui en est un cas particulier.

Si $f: \R^n\to \R^n$ est continue et telle que $f-id$ est de support compact alors $f$ est surjective.



Preuve: il suffit de le prouver pour $f$ qui est $C^1$. L'image de $f$ est fermée donc si $a\notin Im(f)$, il existe un ouvert $U\ni a$ et $g$ continue, positive, à support compact inclus dans $U$, allant de $\R^n\to \R$ avec $\forall x: g(f(x))=0$ et $g(a)=1$. On obtient la contradiction
$$ 0\neq \int g = \int g(f(x) ) Det(D_f(x)) dx = 0$$

Le théorème de Brouwer est un corollaire trivial de ça: Soit $B$ une boule compact de $\R^n$. Soit $f:B\to B$ sans point fixe. Pour $x\in B$ tu prolonges la petite flèche qui va de $f(x)$ à $x$ jusqu'à la sphère frontière $S$ de $B$. Ca te fait une application continue $g$ de $B$ dans $S$, égale à l'identité sur $S$. Tu prolonges le tout à $\R^n$ par l'identité en dehors de $B$ et tu contredis le théorème précédent (les éléments de $int(B)$ n'ont pas d'antécédent). (tu obtiens en passant "pas de rétraction de la boule sur la sphère")

Pour l'invariance du domaine, c'est plus pénible et comme je te le disais, je n'ai pas une énooorme envie de faire d'effort, quelqu'un d'autre complétera, c'est assez connu je pense.

tu veux prouver que toute injection continue $f$ de $\R^n\to \R^n$ est ouverte.

Voir post suivant!

Bon allez comme je suis pas rancunier et que je rechigne à écrire mes 2 contrôles pour demain, je te prouve comment Brouwer canal historique entraine l'invariance du domaine. (Remarque, l'idée n'est pas de moi mais de Antoine Chambert-Loir qui la tient lui-même d'un autre, etc :-D ). Mais après la preuve, je te donnerai un théorème abstrait qui entraine tout ça facilement.

Soit $f: \R^n\to \R^n$ injective et continue. Tu veux prouver que $f$ est ouverte

Il suffit de prouver que si $f$ est une application continue et injective de la boule compacte $B$ de centre $0$ dans elle-même telle que $f(0)=0$ alors $Im_B(f)$ est un voisinage de $0$. Supposons que non. Appelons $Z$ l'image de $f$. C'est un compact et $f$ a une réciproque $g$, continue qui va de $Z$ dans $B$.

Soit $B_2$ une toute petite boule, ainsi que $B_3$ (on les suppose très très petites), telle que $0\in B_2$ et telle que $\forall x\in B$ si $f(x)\in B_2$ alors $x\in B_3$. Il y a dans $B_2$ un élément $b$ qui n'est pas dans $Z$.

Soit $h$ l'application de $B$ dans $B$ telle que si $f(x)\notin B_2$ alors $h(x)=f(x)$ et si $f(x)\in B_2$ alors $h(x)$ est le point de la sphère frontière $S_2$ de $B_2$ tel que $f(x)$ est sur le segment de droite qui va de $b$ à $h(x)$. Evidemment $h$ est continue. On peut aussi noter que $\forall x\notin Z\setminus B_2: g(x) \neq 0$.

La fonction $g$ n'est définie que sur $Z$. Soit $\epsilon$ superpetit. Soit $p$ un polynome tel que $\forall x\in Z : dist(p(x), g(x))<\epsilon$.

La fonction $p$ est, elle, définie sur $B$ tout entier. L'image de $S_2$ par $p$ est d'intérieur vide, on peut supposer donc que $\forall x\in (Z\setminus B_2) \cup S_2 : p(x)\neq 0$. On a de plus choisi $p$ de manière que $\forall x\in S_2: p(x)\in B$

Regardons la fonction continue $k: x\mapsto p(h(x))$, dont $0$ n'est pas dans l'image. Si $f(x)\notin B_2$ alors $dist(x,k(x)) = dist(g(h(x)), p(h(x)) <\epsilon$. La fonction $k$ va de $B$ dans $B$. La fonction $m: x\mapsto x-k(x)$ va aussi de $B$ dans $B$ et est continue. Elle a un point fixe $u$: ce qui veut dire que $u = u-k(u)$. Autrement dit, on obtient comme contradiction que $k(u) = 0$

Le lemme suivant, qui est mon petit théorème brouwérien fétiche, entraine facilement tous les énoncés qui précèdent:

Lemme: soit $n$ un entier, et $U_i, i\in n$ des ouverts qui recouvrent $[0,1]^n$. Alors il existe $i\in n$ et un chemin continu $C$ entièrement inclus dans $U_i$ tel que pour tout $y\in [0,1]$, il existe $x\in C$ avec $x_i=y$.

Exercice: prouver que ce lemme entraine le tout premier énoncé** de mon post précédent (et donc les autres avec).

** une application continue de $\R^n\to \R^n$ coincidant avec l'identité pour les grands vecteurs est forcément surjective.