Équation fonctionnelle à un argument
Bonjour.
J'ai retrouvé dans mes papiers l'équation fonctionnelle dans $\R$:
$f(x)+f(\frac{x-1}{x})=1+x$.
Cela se fait en observant que la fonction $\phi (x)=\frac{x-1}{x}$ est d'ordre 3 au sens où : $\phi \circ \phi \circ \phi =Id_\R$
Mais j'ai deux questions :
1. Quelqu'un aurait-il une référence pour cette équation ?
Je verrais bien le concours Putnam, dans la foulée de : $f(z)+zf(1-z)=1+z$ (1959).
2. J'ai écrit que cette équation est "à un argument". Il me semble avoir rencontré cette terminologie, mais la tenez-vous pour correcte ?
Bonne journée.
Ch.
J'ai retrouvé dans mes papiers l'équation fonctionnelle dans $\R$:
$f(x)+f(\frac{x-1}{x})=1+x$.
Cela se fait en observant que la fonction $\phi (x)=\frac{x-1}{x}$ est d'ordre 3 au sens où : $\phi \circ \phi \circ \phi =Id_\R$
Mais j'ai deux questions :
1. Quelqu'un aurait-il une référence pour cette équation ?
Je verrais bien le concours Putnam, dans la foulée de : $f(z)+zf(1-z)=1+z$ (1959).
2. J'ai écrit que cette équation est "à un argument". Il me semble avoir rencontré cette terminologie, mais la tenez-vous pour correcte ?
Bonne journée.
Ch.
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Réponses
Très difficile de trouver une référence pour une équation fonctionnelle. Les concours mathématiques les utilisent souvent, mais les archives sont nombreuses.
La terminologie "à un argument" n'apporte rien. $f$ est une fonction de $\R$ dans $\R$ et est donc une fonction d'une variable. Dans ce sens, $f$ a un argument (et un seul). Mais fonction d'une variable réelle est une meilleurs terminologie.
2. Pourquoi "un argument" ? La plupart des équations fonctionnelles qui apparaissent dans les compétitions ou dans la littérature mathématique concernent une fonction réelle d'une variable réelle, mais font intervenir deux valeurs de cette variable. Par exemple, la magnifique équation fonctionnelle qui a fait l'objet du problème 5 de l'OIM de cette année. Alors si je dis "équation fonctionnelle à deux variables", on pourra croire que la fonction inconnue est une fonction de deux variables. D'où l'utilisation du vieux terme "argument", que je crois avoir déjà rencontré, mais je ne sais où.
Bonne soirée.
Ch.
Oui mais non. Si on considère $f(x+y)$ quand $f$ est une fonction d'une variable réelle, alors $x$ et $y$ sont des variables (ou des inconnues). L'équation fonctionnelle est donc à deux variables. Dans le cas $f(x)$, l'équation fonctionnelle est à une variable, c'est $x$. Argument n'est pas le bon concept. Nombre de variables (ou d'inconnues) est le bon concept. Enfin, c'est mon avis.
Pour les références, ne prends-tu pas le problème à l'envers ? C'est parce que ces équations fonctionnelles sont des épreuves de concours internationaux qu'elles apparaissent dans des listes d'exercices ; puis font un passage sur ce forum et d'autres.
1. Dans une équation fonctionnelle comme par exemple $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$, l'inconnue c'est $f$, les lettres $x$ et $y$ ne désignent pas des inconnues, mais des variables (ou "arguments" ?). Je voulais savoir si quelqu'un a rencontré ce terme d' "argument" pour désigner si je ne me trompe un objet sur qui agit une application. Je l'ai retrouvé dans un coin de ma mémoire, sans me rappeler plus.
2.Je ne puis procéder à l'envers, car je cherche une référence pour cette équation fonctionnelle-ci : $f(x)+f(\frac{x-1}{x})=1+x$ (et quelques autres aussi mais pour l'instant restons sur celle-ci). J'ai cherché dans le Putnam, de l'origine 1938 jusqu'en 2000, je n'ai pas trouvé mais peut-être ai-je mal cherché. Je l'ai sur une feuille d'exercices de 1996 et je l'ai retrouvé dans un livre de 2007. C'est par pure curiosité que je voudrais connaître sa prime origine, probablement dans une compétition. Si je ne trouve pas, tant pis.
Bonne journée.
Ch.
A relier à : $f(z)+zf(1-z)=1+z$, posé à cette même compétition en 1959.
Bonne journée.
Ch.