Produit scalaire, espace préhilbertien

Gisé · August 2015

Bonjour,

Je travaille sur les espaces préhilbertiens réels et deux questions se posent :

1) Est-ce que le terme "forme" est synonyme d' "application" ?

2) Connaissez-vous une démonstration qui n'utilise pas un raisonnement par l'absurde de la proposition suivante :

Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a,b]$ telle que $\int_a^b f(t)dt=0$, alors $f(t)=0$ pour tout $t\in [a,b]$

D'avance merci !

Zemirnov · August 2015

@Gisé
Pour la 1ere question,
Toute Forme linéaire est une application linéaire de l'espace vectorielle vers le corps des scalaires et ce cas, le corps est $\mathbb{R}$. Mais, la question est comme suit : Est-ce que toute application linéaire est une forme linéaire ?? La réponse est NON,

Siméon · August 2015

1) J'ai l'impression qu'on parle de forme surtout pour une application d'un espace vectoriel dans son corps de base.

2) Oui, il suffit d'utiliser la définition de l'intégrale de Riemann avec les sommes de Darboux.

Zemirnov · August 2015

@Gisé

Soit une subdivision $\{x_0=a,x_1,\cdots,x_n=b\}\subset [a,b]$, on applique la formule de la moyenne pour $f$ sur chaque intervalle $[x_i,x_{i+1}]$, on trouve qu'il existe $c_i\in[x_i,x_{i+1}]$ pour tout $i\in\{0,1,\cdots,n-1\}$ tel que
$$
0\le f(c_i)(x_{i+1}-x_i)=\int_{x_i}^{x_{i+1}}f(t)dt \le \int_a^b f(t)dt =0 \implies f(c_i)=0
$$

et en faisant tendre $n\to+\infty$ on touve, pour tout $c\in [a,b]:f(c)=0$.

Méthode récurrente.

Gisé · August 2015

Merci à vous deux pour vos réponses.

Zerminov, as-tu un exemple d'application linéaire qui n'est pas une forme linéaire ?

Jer anonyme · August 2015

L'identité, en général, n'est pas une forme linéaire.

Bruno · August 2015

Bonjour Gisé.

Tu n'imagines pas que toute application linéaire a une image dans $\mathbb R$ ? Il suffit de prendre l'application identique d'un espace $E$ de dimension strictement supérieure à $1$ :-D.

Bruno

P.S. Grillé par Jer anonyme qui a été moins prolixe que moi !

Zemirnov · August 2015

@Gisé

Soit $f:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2$; $(x,y)\mapsto (ax,bx)$ , pour tout $a,b\in\mathbb{R}$.
$f$ est une application linéaire, mais, on l'appelle pas une forme linéaire.

Cordialement.

Chaurien · August 2015

Soit $f$ une fonction continue à valeurs réelles positives ou nulles sur $[a,b]$, $a<b$, telle que : $\int_{a}^{b}f(t)dt=0$. Pour tout $x\in [a,b]$, soit $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$. Cette fonction $F$ est croissante sur $[a,b]$. Il en résulte, pour tout $x\in [a,b]$ : $F(a)\leq F(x)\leq F(b)$, d'où : $F(x)=0$. Par suite: $f(x)=F^{\prime }(x)=0$.

Produit scalaire, espace préhilbertien

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