Continuité intégrale à paramètre

Bonjour,
Pour $x>0$, Essaie le changement de variable $t=xu$. Pour $x=0$ calcule en direct $F(x)-F(0)$.

bonjour

tu considères l'intégrale de Laplace (avec $x$ différente de $0$) :

$\int_0^{+\infty}\frac{cos(at)}{x^2 + t^2}dt = \frac{\pi}{2x}exp(-x|a|)$

1er cas : $a > 0$ et dérivons par rapport à $a$ ce qui est possible pour $x$ non nulle, il vient :

$\int_0^{+\infty}\frac{t.sin(at)}{x^2 + t^2}dt = \frac{\pi}{2}exp(-ax)$

et pour $a = 1$ on obtient $\int_0^{+\infty}\frac{tsint}{x^2 + t^2}dt = \frac{\pi}{2}e^{-x}$

second cas : $a < 0$ dérivons pareillement par rapport à $a$ :

$\int_0^{+\infty}\frac{t.sin(at)}{a^2 + t^2}=- \frac{\pi}{2}exp(ax)$ et pour $a = - 1$ il vient la même relation :

$\int_0^{+\infty}\frac{t.sint}{x^2 + t^2}dt = \frac{\pi}{2}e^{-x}$

pour $x = 0$ ta fonction $F(x)$ donne directement l'intégrale de Dirichlet soit : $\int_0^{+\infty}\frac{sint}{t}dt = \frac{\pi}{2}$

que l'on retrouve comme image pour $x = 0$ dans les deux déterminations de $F(x)$

dans tous les cas la fonction $F(x)$ est définie, continue sur $R$

cordialement

La solution d'YvesM me semble être la meilleure. Attention à bien justifier la limite du dernier membre.

On pourrait aussi chercher à démontrer la continuité de $F(x)$ sur $\R$ tout entier.

Dans mon avant-dernier message j'ai donné une solution plus simple, qui ne se soucie pas du changement bien connu de la constante d'intégration dans l'IPP, utile lorsque la valeur $0$ est en cause mais inutile ici où cette valeur est exclue,.
Ma solution ne recourt pas à ce laborieux et hasardeux "coupe-en-deux" et je la rappelle.
J'ai donc : $F(x)=\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}-t^{2}}{(t^{2}+x^{2})^{2}}\cos tdt$.
Soit $0<a<b$ et $x\in [a,b]$. Alors : $\left| \frac{x^{2}-t^{2}}{(t^{2}+x^{2})^{2}}\cos t\right| \leq \frac{\left| x^{2}-t^{2}\right| }{(t^{2}+x^{2})^{2}}\leq \frac{x^{2}+t^{2}}{(t^{2}+x^{2})^{2}}\leq \frac{b^{2}+t^{2}}{(t^{2}+a^{2})^{2}}$, clairement intégrable sur $[0,+\infty [$. J'ose espérer qu'il n'est pas nécessaire d'en préciser plus.
Par contre un coupe-en-deux me semble utile si l'on veut prouver la continuité de $F$ sur $\R$ tout entier. Je pense à : $F(x)=F_{1}(x)+F_{2}(x)$ avec : $F_{1}(x)=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{t\sin t}{t^{2}+x^{2}}dt$ et $F_{2}(x)=\int_{\frac{\pi }{2}}^{+\infty }\frac{t\sin t}{t^{2}+x^{2}}dt$. Etc.
Bonne après-midi de fin d'août.
Ch.

@ Jandri.
En effet, j'ai lu un peu vite. Bravo pour cette solution.
On peut donc prendre comme fonction dominante $\varphi (t)=\frac{2}{t^{2}+1}$.

Une petite remarque, c'est que la fonction $g(x,t)=\frac{x^{2}-t^{2}}{(t^{2}+x^{2})^{2}}(\cos t-1)$ est bien sûr de classe $C^{\infty }$ sur $\R^{2}\backslash \{(0,0)\}$ mais ne peut être rendue continue en $(0,0)$ par l'attribution d'aucune valeur à $g(0,0)$.
Il faut choisir la valeur de $g(0,0)$ qui rend continue la fonction partielle $x\mapsto g(x,0)$ ; cette valeur c'est $g(0,0)=0$. Et alors la fonction : $t\mapsto g(0,t)$ aura une discontinuité en $0$, elle sera continue par morceaux et le théorème s'appliquera. Encore bravo.
La méthode que je proposais s'applique aussi, mais celle-ci est meilleure.

Encore une remarque. Prendre $1-\cos t$ comme primitive de $sin t$ est opportun, mais je ne le qualifierai pas d' "astucieux". Depuis longtemps l'Intégration par Parties n'est plus seulement un procédé de recherche de primitives, activité qui a été remise à sa place, qui n'est point un objectif prioritaire de l'Analyse. L'IPP est un procédé puissant pour transformer l'expression d'une intégrale dans un but déterminé, et alors le choix de la constante de primitivation est une question importante et non une simple "astuce". C'est par de tels choix que l'on démontre les formules classiques de Taylor, Euler-MacLaurin et autres.

Bonne soirée.
Ch.

Une "astuce" qui sert plusieurs fois, ce n'est plus une astuce mais une "méthode" !