continuité de la fonction zéta

Bonjour,
merci de votre réponse.
Mais que dois je comprendre ?
Qu'il est inutile de parler de convergence sur tout compact ?
Pour établir la continuité de zéta en $a$ réel quelconque de $] 1 , + \infty [$, on l'établit grâce à la convergence normale (donc uniforme) sur $[ a , + \infty [$ de la série $\sum{\dfrac{1}{n^x}}$.
Puis comme la continuité est une notion locale on obtient alors la continuité de zéta sur $] 1 , + \infty [$ ?

Bonjour,
que $\zeta$ est continue en chaque réel de $] 1 , + \infty [$ ?
Mais j'ai du mal à interpréter vos réponses quant à mon problème.
En tout cas, merci de vos réponses.
Cordialement.

Bonjour à tous,
oui je parle de la fonction réelle zéta définie sur $] 1 , + \infty [ $ par $\zeta(x)=\displaystyle\sum_{1}^{+ \infty}{\frac{1}{n^x}}$.
Alors pour montrer qu'elle est continue sur $] 1 , + \infty [$ je dirais :
1) $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ $x \mapsto \frac{1}{n^x}$ est continue sur $] 1 , + \infty [$
2) Soit $x_0 \in ] 1 , + \infty [$
Il existe $a>1$ (par exemple $a=\frac{1+x_0}{2}$) tel que $x_0 \in [ a , + \infty [$.
Mais $\forall x \in [ a , + \infty [$ $\frac{1}{n^x} \leqslant \frac{1}{n^{a}}$ et $\sum{\frac{1}{n^{a}}}$ converge.
On en déduit donc que $\sum{\frac{1}{n^{x}}}$ converge normalement donc uniformément sur $[ a , + \infty [$.
3) Ainsi $\zeta$ est continue sur $[ a , + \infty [$ donc en $x_0$.
4) Comme $\zeta$ est continue en tout $x_0$ de $] 1 , + \infty [$, $\zeta$ est continue sur $] 1 , + \infty [$.

Deux remarques :
R1-Si cette démonstration est correcte, on peut faire la même en remplaçant les $[ a , + \infty [$ par des $[ a , b ]$ avec $b=2x_0$ par exemple ;
R2-on est d'accord qu'on n'y parle pas de la notion de convergence normale sur tout compact.

Merci pour vos commentaires,
cordialement.