Nom d'une équation fonctionnelle
Bonsoir.
L'équation fonctionnelle classique : $f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}f(y)^{2}$ est connue dans la littérature sous le nom d'"équation fonctionnelle log-quadratique" parce que la fonction $g=\ln f$, qui existe sous certaines hypothèses, vérifie l'équation fonctionnelle quadratique : $g(x+y)+g(x-y)=2(g(x)+g(y))$.
Il y a aussi l'autre équation fonctionnelle classique : $f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=f(x)f(y)$, qui possède à peu près les mêmes solutions que l'équation log-quadratique. Savez-vous si cette autre a une appellation classique ?
Grand merci.
L'équation fonctionnelle classique : $f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}f(y)^{2}$ est connue dans la littérature sous le nom d'"équation fonctionnelle log-quadratique" parce que la fonction $g=\ln f$, qui existe sous certaines hypothèses, vérifie l'équation fonctionnelle quadratique : $g(x+y)+g(x-y)=2(g(x)+g(y))$.
Il y a aussi l'autre équation fonctionnelle classique : $f(\sqrt{x^{2}+y^{2}})=f(x)f(y)$, qui possède à peu près les mêmes solutions que l'équation log-quadratique. Savez-vous si cette autre a une appellation classique ?
Grand merci.
Réponses
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Bonjour.
Sur le forum math.stackexchange, il est dit que c'est un cas particulier du théorème de Maxwell concernant la distribution gaussienne.
http://math.stackexchange.com/questions/115784/if-fxfy-f-sqrtx2y2-how-to-find-fx
http://math.stackexchange.com/questions/105418/very-elementary-proof-of-maxwells-theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_theorem
Ce qui donne à cette équation une orientation probabiliste. On pourrait la dénommer "équation fonctionnelle de la densité gaussienne" ; qu'en pensent les probabilistes à l'écoute ?
Bonne journée.
Ch. -
Pas de nouvelles, bonnes nouvelles. Je désignerai donc cette équation fonctionnelle sous le nom "équation fonctionnelle gaussienne". D'ailleurs, c'est avec cette égalité que Gauss calcule son intégrale au moyen d'une intégrale double. J'espère que Zoeka et les autres seront d'accord.
Bonne journée.
Ch. -
Cherchant autre chose dans le très beau livre de J. Aczél et J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, 1989, 1991, je lis en page 32 : << Gauss's functional equation : $f((x^{2}+y^{2})^{1/2})=f(x)f(y)$ >>.
J'avais donc eu une bonne intuition.
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Bonjour!
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