Convergence de distributions

Bonjour
Je ne sais pas si le titre du sujet est vraiment rigoureux, je ne suis pas un mathématicien de formation, mais un (apprenti) économiste. Je construis un modèle théorique d'inégalités de richesse et me heurte à une difficulté mathématique.

En bref : j'ai une distribution $G_t(B)$ qui représente le nombre de personnes dont la richesse est inférieure à $B$ en période $t$. Je définis $Z_t(B) = 1 - G_t(B)$ qui est donc le nombre de personnes dont la richesse est supérieure à $B$ en période $t$. Mon superviseur de recherche m'a demandé de trouver la distribution $Z(B)$ à l'état stationnaire, donc quand $t$ tend vers l'infini. Après quelques calculs que je ne pense pas nécessaire de détailler, j'obtiens : $$
Z_{t+1}(B) = \frac{1}{2} \cdot \left[Z_t\Big(\frac{B - a}{d}\Big) + Z_t\Big(\frac{B+c-ax}{d}\Big)\right] $$ où $$\frac{B - a}{d} > \frac{B+c-ax}{d}$$ Je n'ai maintenant aucune idée de comment procéder pour trouver la distribution $Z(B)$ à l'état stationnaire, s'il en existe une, ou bien une limite vers laquelle elle converge.

J'ai des lacunes évidentes en maths que je compte combler, mais je ne sais pas vraiment où chercher pour résoudre mon problème, et l'approche d'une deadline me contraint à venir chercher de l'aide haha. Je ne sais pas si je me suis exprimé correctement, veuillez m'en excuser si ce n'est pas le cas. Merci d'avance !