f'(x) = f(x+C)
Bonsoir,
Peut-on trouver l'espace des solutions de l'équation $f'(x) = f(x+C)$, $C$ étant une constante réelle fixée?
Si l'on peut prouver qu'une telle solution est analytique, alors en travaillant sur le DSE, on doit arriver à montrer que cette dimension est un, mais l'analyticité ne me semble pas triviale (on n'a pas affaire non plus à une contraction sur un espace de fonctions continues)..
Merci pour toute suggestion -- ou référence sur le sujet...
Peut-on trouver l'espace des solutions de l'équation $f'(x) = f(x+C)$, $C$ étant une constante réelle fixée?
Si l'on peut prouver qu'une telle solution est analytique, alors en travaillant sur le DSE, on doit arriver à montrer que cette dimension est un, mais l'analyticité ne me semble pas triviale (on n'a pas affaire non plus à une contraction sur un espace de fonctions continues)..
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Réponses
J'ai été induit en erreur par un énoncé dans lequel manquait sûrement une hypothèse (il demandait simplement de résoudre cette équation)...
On suppose $C>0$.
Soit $g$ une fonction continue de classe $C^{\infty}$ définie sur $[0,C]$ et valant $A$ en $C$, et telle que $g'(0)=A$ (la dérivée à droite en $0$).
Soit l'équation différentielle définie sur $[-C,0]$ par $f'(x)=g(x+C)$ et $f(0)=g(0)$. Comme $g$ est bornée, l'équation possède une solution sur tout l'intervalle $[-C,0]$.
On prolonge ensuite $f$ à $[0,C]$ en posant $f=g$ sur $[0,C]$. Donc on obtient une fonction continue sur $[-C,C]$ qui vérifie la condition $f'(x)=f(x+C)$ pour tout $x \in [-C,0]$. En ainsi de suite, on définit $f$ sur $[-(n+1)C,-nC]$, etc...
en effet, avec des équations à retard on quitte la dimension finie. En général on considére $C<0$ car sinon l'équation n'est pas causale (si la variable $x$ est le temps $t$, alors la dérivée à l'instant $t$ dépend du temps futur $t+C$).
Pour avoir une solution unique, il faut une condition initiale non pas seulement en $x=0$ mais sur tout l'intervalle $[C,0]$ (dans le cas où $C<0$). Ensuite pour trouver la solution, c'est directe, tu intègre sur chaque intervalle $[k\vert C\vert,(k+1)\vert C\vert]$, $k\in\mathbb N$.
Tu dois pouvoir également écrire cette équation comme une équation aux dérivées partielles de type équation de transport. Dans ce cas le signe de $C$ importe peu.
1- Je me demande si on peut résoudre ce genre d’équations avec les transformées de Laplace. On considère le problème $y'(x)=y(x-1)$. Si on connait seulement $y$ sur $[0,1]$. On note $y_0$ sa restriction sur $[0,1]$ : $y_0(x)=y(x)$ sur $[0,1]$ et $y_0 (x) =0$ sinon. On note $Y_0(p)$ la TL de $y_0 (x)$ et $Y(p)$ la TL de $y(x)$
On a $$y'(x) H(x-1)=y(x-1)H(x-1)$$ avec H la fonction de Heaviside; d'où $$L(y'(x) H(x-1))(p)=L(y(x-1)H(x-1))(p)$$ On a $$L(y(x-1)H(x-1))(p)=e^{-p} Y(p)$$ et formellement \begin{align*} L(y'(x) H(x-1))(p)&=\int_1^{+\infty} e^{-px} y'(x) dx\\&=-y(1^+)+p \int_1^{+\infty} e^{-px} y(x) dx\\
&=-y(1^+) +p \int_0^{+\infty} e^{-px} y(x) dx -p \int_0^1 e^{-px} y(x) dx\\
&=-y(1^+)+pY(p)-pY_0(p) \end{align*} d'où $$Y(p)={y(1^+) \over p-e^{-p}}+{pY_0(p) \over p-e^{-p}}
*$$ Donc si on connait $y$ sur $[0,1]$ on connait ''la'' solution de notre problème dans l'espace de Laplace. Mais le calcul de l'inverse de $Y(p)$ va poser un problème sérieux (dans le cas d'un inverse du type $\displaystyle {F_0(p) \over 1-e^{-pT}}$ ; on sait qu'on cherche une fonction $T$-périodique telle que la restriction de sa TL sur $[0,T]$ coïncide avec $F_0(p)$
2- Je me demande aussi si vous connaissez des solutions du problème $y'(x)=y(x-1)$ avec $y(0)=1$ ?
pour le problème $y'(x)=y(x-1)$ avec $y(0)=1$, comment calcules tu la dérivée à l'instant $x=\frac{1}{2}$:
\begin{equation}
y'\left(\frac{1}{2}\right)=y\left(-\frac{1}{2}\right)
\end{equation}
C'est une question ou un élément de réponse de ma question 2 ?
-Est ce que quelqu'un peut inverser l’équation de Laplace ci dessus
l'équation : $f'(x) = f(x-1)$ avec $f(0)=1$ admets une solution exacte sous la forme d'une exponentielle toute simple :$f(x) = e^{a x}$ où $a$ est l'unique solution de l'équation $a = e^{-a}$.
Par exemple si on veut chercher une solution du problème $y'(x)=y(x-{3\pi \over 2}); y(0)=1$ et si on se rappelle de nos cours d’électricité le sinus et sa dérivée le cosinus sont déphasés de ${\pi \over 2}$ on trouve simplement que $y(x)=cos(x)$ est une solution du problème
@ YvesM Merci pour ton exemple tu as donné un exemple simple de fonction qui présente un déphasage de -1 avec sa dérivée
Maintenant en bidouillons les sinus; cosinus et exponentielle peut on chercher une solution simple du problème initiale $y'(x)=y(x-C)$ avec $y(0)=a$ avec C>0
y est donné par $y(x)=ae^{-bx}$ avec b l'unique solution de $b=e^{-bc}$