Minimum d'une fonction

Bonjour à tous ! Dans le cadre d'un problème d'optimisation, je cherche à déterminer la valeur exacte du minimum sur $[0,3]$ de cette fonction :$$L(x)=\sqrt{4+x^2}+\sqrt{x^2-6x+\frac{45}{4}}$$
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, j'ai calculé l'expression de la fonction dérivée :$$L'(x)=\frac{x\sqrt{4x^2-24x+45}+(2x-6)\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}\sqrt{4x^2-24x+45}}$$
Cependant, je n'arrive pas à étudier le signe de cette fonction ... Il faut dire qu'elle n'est pas simple ! Quelqu'un aurait une idée ? J'arrive à conjecturer une valeur approchée du minimum (environ 4,61 atteint en 1,71) mais j'aimerais savoir s'il est possible de trouver la valeur exacte. Merci pour votre aide !