Changement de variables champs de vecteurs

Bonjour,

Je ne sais pas si tu dois imposer une relation quelconque pour démontrer la relation. C'est plutôt une définition générale. Il faut bien comprendre les variables et les fonctions qui en dépendent.

Soit $F(x) = F(x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots)$ une fonction quelconque de plusieurs variables $x_i$.
On veut changer de variable et passer à $y$ au lieu de $x$, c'est-à-dire qu'on définit :
$y_j = C_j(x) = C_j(x_1, x_2, \cdots, x_i, \cdots)$ une fonction $C_j$ pour chaque variable $y_j$ qui la relie à tous les $x_i$.

On calcule alors :
$\frac{\partial F(x)}{\partial x_i} = \sum_j \frac{\partial F(y)}{\partial y_j} \frac{\partial y_j}{\partial x_i }$
Et bien sûr :
$\frac{\partial y_j}{\partial x_i } = \frac{\partial C_j(x)}{\partial x_i}$
Puis dans ton cas on a :
$y_j = C_j(x) = x_j + h_j(x)$
alors :
$\frac{\partial C_j(x)}{\partial x_i} = \frac{\partial (x_j + h_j(x))}{\partial x_i} = \delta_{ij} + \frac{\partial h_j(x)}{\partial x_i}$
et donc le résult est retrouvé :
$\frac{\partial F(x)}{\partial x_i} = \sum_j \frac{\partial F(y)}{\partial y_j} \frac{\partial C_j(x)}{\partial x_i} = \sum_j \frac{\partial F(y)}{\partial y_j} (\delta_{ij} + \frac{\partial h_j(x)}{\partial x_i })$
$= \frac{\partial F(y)}{\partial y_i} + \sum_j \frac{\partial h_j(x)}{\partial x_i } \frac{\partial F(y)}{\partial y_j}$
et comme cette relation est valable pour tout $F$ alors on l'écrit sans $F$ :
$\frac{\partial}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial y_i} + \sum_j \frac{\partial h_j(x)}{\partial x_i } \frac{\partial}{\partial y_j}$

Enfin, dans la relation ci-dessus, j'ai changé $F(x)$ en $F(y)$, c'est un abus de notation, on veut dire $F$ vue comme une fonction de $x$ ou $F$ vue comme une fonction de $y$ et on peut grâce à la relation entre $y$ et $x$.