bonsoir
enonce :montrer que si f derivable , $ \int_{n-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}f(x)dx = f(n+h)-hf'(n) $
en sachant que $-\frac{1}{2}\leq h\leq\frac{1}{2} $ qu'est que vous pensez !
(j'ai une reponse je la posterais pr veifier) merci.
On suppose que $f$ est définie sur un intervalle suffisamment grand. Alors $\int_{n-1/2}^{n+1/2} f(x)dx = \int_{-1/2}^{1/2} f(n+y)dy$ avec le changement de variable $y=x+n$ (bijectif). Dans cette étape, on a fait apparaître les bornes $-1/2$ et $+1/2$ pour utiliser le théorème de la moyenne. Mais il manque un terme, alors on l'ajoute ! Et $\int_{-1/2}^{1/2} f(n+y)dy = \int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n) + yf'(n)]dy = \int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n)] + \int_{-1/2}^{1/2} yf'(n) dy$ que l'on peut séparer. Comme $\int_{-1/2}^{1/2} ydy =0$ par parité, alors : $\int_{n-1/2}^{n+1/2} f(x) dx = \int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n)] dy$ et il existe $h \in[-1/2, 1/2]$ tel que $\int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n)] dy = f(n+h) - hf'(n)$.
Réponses
e.v.
On suppose que $f$ est définie sur un intervalle suffisamment grand. Alors $\int_{n-1/2}^{n+1/2} f(x)dx = \int_{-1/2}^{1/2} f(n+y)dy$ avec le changement de variable $y=x+n$ (bijectif). Dans cette étape, on a fait apparaître les bornes $-1/2$ et $+1/2$ pour utiliser le théorème de la moyenne. Mais il manque un terme, alors on l'ajoute ! Et $\int_{-1/2}^{1/2} f(n+y)dy = \int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n) + yf'(n)]dy = \int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n)] + \int_{-1/2}^{1/2} yf'(n) dy$ que l'on peut séparer. Comme $\int_{-1/2}^{1/2} ydy =0$ par parité, alors : $\int_{n-1/2}^{n+1/2} f(x) dx = \int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n)] dy$ et il existe $h \in[-1/2, 1/2]$ tel que $\int_{-1/2}^{1/2} [f(n+y) - yf'(n)] dy = f(n+h) - hf'(n)$.