Somme d'intégrales à deux variables

hinane · May 2015

Bonjour
Soit $v(x,t)$ une fonction à deux variables définie sur $[0,1]\times [0,T]$.
Si on a $$\dfrac{1}{2} \int_0^1 \big[v^2(x,t)\big]_0^T dx + \int_0^T \big(v(1,t)\big)^2 dt + \int_0^T \int_0^1 \Big(\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t)\Big)^2 dx dt=0$$ Est-ce qu'on peut en déduire que $v(x,t)=0$ et pourquoi ?
Merci beaucoup.

Dom · May 2015

Je pense déjà que l'on devrait supposer, par exemple, que $v$ est continue, non ?
Et même $C^1$ sur le rectangle ? (Éventuellement une hypothèse moins restrictive...)

C'est une somme nulle, de trois termes positifs, donc chacun est nul...

YvesM · May 2015

Bonjour @hinane et @Dom,

Si je lis bien l'intégrande de l'intégrale la plus à gauche, alors $v$²$(x,t)$ est pris entre 0 et T, de sorte qu'il s'agit d'une différence $v$²$(x,t=T) - v$²$(x,t=0)$ et on ne peut conclure (que la somme est nulle) qu'en ajoutant des contraintes ou des conditions aux limites.

Dom · May 2015

Mea culpa. J'ai pourtant lu plusieurs fois le message, l'intégrande a été effacé de mon esprit.
Merci YvesM.

(Clin d'œil : J'ai dû être embrouillé par une équation fonctionnelle ;-))

hinane · May 2015

Salut,
En fait je suis perdue et je ne comprends pas bien. Comment déduit-on de la formule que v(x,t)=0? En sachant que $v(0,t)=0$ et $v(1,t) + \dfrac{\partial v}{\partial x}(1,t)=0$ ?
Merci.

hinane · May 2015

En fait, j'ai le problème suivant.
$
\begin{cases}
& \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, 0 < x < 1, t > 0\\
& u(0,t)=0, u(1,t)+ \dfrac{\partial u}{\partial x} (1,t)=0
\end{cases}
$
et la question initiale est de montrer que ce problème admet une solution unique. J'ai donc supposé qu'il y a deux solutions $u_1$ et $u_2$, je pose $v(x,t)= u_1(x,t)-u_2(x,t)$, et je montre que $v(x,t)=0$ pour tout $(x,t)$.
En multipliant l'équation par $v$, puis en intégrant par parties sur $[0,T]\times [0,1]$, on obtient : $$
\dfrac{1}{2} \int_0^1 [v^2(x,t)]_0^T dx + \int_0^T \big(v(1,t)\big)^2 dt + \int_0^T \int_0^1 \Big(\dfrac{\partial v}{\partial x}(x,t)\Big)^2 dx dt = 0
$$ Pourquoi cela implique-t-il que $v(x,t)=0$ pour tout $(x,t)$ ? S'il vous plaît..

acx01b · May 2015

\begin{cases}
& \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\end{cases}

$u_1(x,t)$ et $u_2(x,t)$ sont solutions de l'équa diff, donc $v = u_1 - u_2$ aussi,

sauf qu'en prenant $v$ on a comme conditions initiales : $v(0,t) = 0$.
ça se résume donc à trouver l'ensemble des fonctions initialement nulles et solutions de l'équation. et de montrer qu'avec ta dernière relation ça donne $v(x,t) = 0$.

YvesM · May 2015

Bonjour @hinane, si tu me montres comment écrire en LaTex, directement sur ce forum, l'équation dans ton texte, alors je peux d'aider. Mais voici une indication (c'est toujours mieux de trouver soi-même).

L'intégrale de droite fait apparaître $[f'(u)]$² et alors une intégration par partie s'impose en l'écrivant comme le produit de deux fonctions $f'(u) f'(u)$. Ou alors on peut aussi dériver toute cette équation par rapport à T. Il faut faire très attention aux écritures... mais ça marche. Que trouve-t-on ?

acx01b · May 2015

@YvesM et hinane :
ton équation hinane avec des intégrales sur $v$ et ses dérivées n'implique pas du tout que $v(x,t) = 0$, ni même qu'il existe deux solutions différentes pour les mêmes conditions initiales,
alors que la méthode que j'ai expliquée oui.

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