problème aux limites

hinane · May 2015

Bonjour, j'ai la question suivante.

On considère le problème aux limites $$y'' + 2 y' + 5y=0, y(0)=y\big(\frac{\pi}{2}\big)=0.$$ La question est: montrer que ce problème admet une infinité de solutions, puis donner sa formule.

En calculant la solution directement, on trouve que $y(x)=Ce^{-x} \sin(-2 x)$ où $C$ est un réel quelconque.
Ma question est: comment savoir ou prouver que ce problème admet une infinité de solutions avant de passer au calcul ? (à l'aide d'un théorème, par exemple).
Merci beaucoup.

YvesM · May 2015

Bonjour,

Voici ma façon de démontrer que ce problème admet une infinité de solutions ou une solution unique, sans calculer y(x).

On pose z(x) = a y(x) pour tout x et pour a dans IR.

Et on démontrer facilement que si y est solution, alors z est solution. C'est vrai pour l'équation différentielle, et c'est vrai pour les conditions à limites car 0 x a = 0.

Donc il existe une solution unique si y1 = 0 (et cette solution est la fonction identiquement nulle), ou une infinité de solution y1 différe de 0 (et ces solutions sont toutes proportionnelles et inclus la fonction non-nulle).

Je ne sais pas démontrer, sans calculs, quil existe une solution y1 non-nulle.

hinane · May 2015

Je ne comprends pas la condition de l'unicité; qui est $y1$? S'il vous plaît.

YvesM · May 2015

Bonjour, soit y1(x) une fonction d'un intervalle I dans IR vers IR qui est une solution quelconque, mais non nulle. Alors z = a y est aussi solution pour pour a dans IR. Donc on a une infinité de solutions, toutes les fonctions z(x) = a y1(x) pour a quelconque.

Utilisateur anonyme · May 2015

bonjour
je ne comprend pas le raisonnement de YvesM
prenons par exemple cette équation y" +2y'+5y=0 avec la seule condition y(0)=0
En utilisant les transformées de laplace on trouve la solution generale y(t)=a/2 e^-t sin(2t) avec a=y'(0)
Maintenant si on ajoute une deuxieme condition initiale de type $y(\alpha)=\beta$ . On voit que si $\alpha \neq k \pi /2 $ alors a est fixé et donc le probleme admet une solution unique et si $\alpha = k \pi /2$ alors le probleme admet une infinité de solutions si $\beta=0$ et pas de solutions si $\beta \neq 0$

je vois pas comment arriver a cette conclusion sans faire les calculs

Merci

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