Fonctions d'Hermite
Bonjour,
Les fonctions d'hermite $h_n=H_n \exp{-x^2/2}$ forment une base hilbertienne (quitte à les normaliser) de $L^2(\mathbb{R})$, où $H_n$ est le n-ème polynôme d'Hermite:
$H_n(x)= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n e^{-x^2}}{dx^n}$
Je me pose deux questions. La première:
Comment obtenir le (ou les) développement asymptotique de cette page:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#Asymptotic_expansion
(il y a bien une référence mais j'ai pas l'impression qu'il y ait de démonstration...).
Et quelqu'un est-il en mesure de m'en dire un peu plus propos de "This expansion is needed to resolve the wave-function of a quantum harmonic oscillator " ?
Ensuite, les $h_n$ formant une base hilbertienne, si $f$ est une fonction $L^2$ il existe $(f_n)$ dans $l^2$ telle que $f= \sum f_nh_n$. J'aimerais trouver des conditions sur $(f_n)$ pour que $f$ soit de classe $C^k$. Pour cela je pense qu'il faut pouvoir majorer uniformément sur $\mathbb{R}$ les fonctions d'Hermite. D'où ma seconde question:
Connait-on un majorant de $|| h_n||_{\infty}$ ?
Merci d'avance pour vos réponses.
Les fonctions d'hermite $h_n=H_n \exp{-x^2/2}$ forment une base hilbertienne (quitte à les normaliser) de $L^2(\mathbb{R})$, où $H_n$ est le n-ème polynôme d'Hermite:
$H_n(x)= (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n e^{-x^2}}{dx^n}$
Je me pose deux questions. La première:
Comment obtenir le (ou les) développement asymptotique de cette page:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#Asymptotic_expansion
(il y a bien une référence mais j'ai pas l'impression qu'il y ait de démonstration...).
Et quelqu'un est-il en mesure de m'en dire un peu plus propos de "This expansion is needed to resolve the wave-function of a quantum harmonic oscillator " ?
Ensuite, les $h_n$ formant une base hilbertienne, si $f$ est une fonction $L^2$ il existe $(f_n)$ dans $l^2$ telle que $f= \sum f_nh_n$. J'aimerais trouver des conditions sur $(f_n)$ pour que $f$ soit de classe $C^k$. Pour cela je pense qu'il faut pouvoir majorer uniformément sur $\mathbb{R}$ les fonctions d'Hermite. D'où ma seconde question:
Connait-on un majorant de $|| h_n||_{\infty}$ ?
Merci d'avance pour vos réponses.
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Réponses
Pour le dévelopment asymtotique, il faut trouver une référence...
Pour les conditions sur f(n), comme f est la somme des f(n) h(n), que h(n) est de classe C(inf), alors il faut que f(n) soit de classe C(inf). Par exemple, si f(k) est C(2) mais pas C(3), calcule alors la dérivée troisième de f, et tu verras que f ne peut pas être C(inf) car il y a une non-dérivabilité de f(3)(k).
Pour l'oscillateur quantique, c'est encore un peu long à écrire. C'est simplement le résultat de la fonction d'onde à une dimension. Le mieux est de trouver une référence : par exemple dans Wikipedia "oscillateur quantique".
Pour un majorant, calcule donc x2 h(n)(x) = x2H(n)(x) Exp(-x2/2) quand x tends vers l'infini, a-t-on 0 ? Donc pour x suffisamment quand h(n)(x) est majorée par 1/x2. En fait, par toute puissance...
Car quand je fais une recherche avec "Hermite" il trouve rien.