Valeur d'une limite
Bonjour tout le monde,
J'aurais besoin de votre aide concernant la valeur de la limite de :
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(n+k)^3}\right)$$
Numériquement je trouve une valeur qui s'approche de approximative de $0.7549409936034448502126435878780103099827601813018119$.
Merci et bon début de semaine.
J'aurais besoin de votre aide concernant la valeur de la limite de :
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(n+k)^3}\right)$$
Numériquement je trouve une valeur qui s'approche de approximative de $0.7549409936034448502126435878780103099827601813018119$.
Merci et bon début de semaine.
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Réponses
Je m'interroge...(edit : j'avais mal lu, pardon).
Cependant, qu'entendez-vous par "valeur" ?
Une valeur exacte écrite avec des opérations "usuelles" et des nombres "connus" ? Ou bien une vérification de la valeur approchée suggérée dans votre message ?
$$ \left( \sum_{k=1}^n \frac 1k \right) \left( \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(n+k)^3} \right) = - \frac{ \psi(n+1) \psi^{(2)}(n+1)}{2}$$
où $\psi^{(k)}$ est la fonction polygamma d'ordre $k$ mais après je sais pas trop ce qu'on peut faire vu qu'il faut sommer sur $n$.
Merci.
Je trouve un autre résultat.
En posant $H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n$ la somme à calculer est: $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{H_n}{(n+k)^3}$.
En introduisant $j=n+k$: $S=\displaystyle\sum_{j=2}^{+\infty}\dfrac1{j^3}\sum_{n=1}^{j-1}H_n$.
On montre par récurrence que $\displaystyle\sum_{n=1}^{j-1} H_n=j(H_j-1)$.
On en déduit avec le résultat connu $\displaystyle\sum_{j=1}^{+\infty}\dfrac{H_j}{j^2}=2\zeta(3)$: $S=2\zeta(3)-\zeta(2)\approx 0.759179738$.
Wolfram Alpha trouve le bon résultat pour l'entrée :
sum (sum Harmonic(n) / j^3 for n=1...(j-1)) for j=2...inf
et se plante avec la forme initiale de cette somme.
Voici une autre démarche qui consiste à écrire la somme sous forme intégrale.
On commence par remarquer que $$
\frac{1}{(k+n)^3} = \int_0^1 y^{k+n-1}\ln^2(y)dy
$$ d'où $$
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+n)^3} = \int_0^1 \frac{y^n}{y-1} \ln^2(y) dx
$$ de même, on sait que $$
H_n = n\int_0^1 x^{n-1}\ln(1-x) dx
$$ ceci permet d'écrire $$
\sum_{n=1}^{\infty} H_n \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+n)^3} = \int_0^1 \int_0^1 \frac{y\ln^2(y)\ln(1-x)}{2(1-y)(xy-1)^2}dx
$$ Malheureusement je n'arrive pas à calculer cette intégrale double.