racine carrée de z

Peut-être est-il possible de calculer la différentielle de $ r $ et de vérifier que $ dr=\dfrac{dz}{2r} $.

Bonsoir,

Cette remarque n'a aucune utilité. Il s'agit probablement d'un exercice dans lequel il faut partir de la fonction donnée et prouver qu'elle correspond bien à ce que l'on attend d'une racine carrée.
On comprend bien qu'il s'agit de faire cela en n'ayant pas la connaissance d'une fonction logarithme.

Ce qui interpelle dans cet exercice c’est cette écriture sous forme intégrale de l’argument : il a dû être demandé que l’on a bien à chaque fois un argument de $z$, du moins si on veut vérifier que $f(z)$ est effectivement une racine carrée de $z$

Pour prouver l’holomorphie de $f(z)$ il suffit en fait de montrer la continuité de cet $Arg(z)$ sur $C-R^+$ et via la limite du taux d’accroissement on peut conclure.
Cette continuité peut s’obtenir en faisant apparaître $\int dZ/Z$

Non, ça ne marche pas : dans $\C\setminus\R^+$, il y a des nombres complexes dont la partie réelle $x$ est nulle, pour lesquels $\arctan(y/x)$ n'est pas défini. C'est normal qu'il y ait problème car sur ce domaine, l'argument doit pouvoir varier sur un intervalle de longueur $2\pi$ alors que l'arctangente est à valeurs dans un intervalle de longueur $\pi$ seulement.

@YvesM
ton $Arg(x,y)$ me semble faux, puisque c'est une fonction paire de $y$ , et deux nombres complexes conjugués non nuls n'ont pas le même argument
on peut vérifier aussi que pour $z=-1+i$ ca ne va pas

pour moi le $Arg(z)$ de l'énoncé est exactement l'argument de $z$ situé dans $]0;2\pi[$

Bon navré d'être encore négatif, mais ton argument est cette fois pair en $z$

En outre la manipulation de logarithmes de nombres complexes est délicate : faut préciser la détermination prise
Par ailleurs dans les complexes on n'a pas toujours log d'un produit = somme des log
De même on n'a pas toujours $log(exp(z))=z$ puisque le membre de gauche est invariant
si on remplace $z$ par $z+2ik\pi$, par contre celui de droite n'est pas périodique

AP veut dire que la fonction $x+iy\mapsto \pi-\frac{1}{2i}\ln\frac{x-iy}{x+iy}$ est paire. Ce n'est donc pas une détermination du logarithme sur $\C\setminus\R^+$.

Dire que la fonction $F:x+iy\mapsto \pi-\frac{1}{2i}\ln\frac{x-iy}{x+iy}$ est paire, c'est dire que $F(-z)=F(z)$. Ce n'est manifestement pas le cas d'une détermination de l'argument, comme tu l'as expliqué toi-même puisque l'on doit avoir $\arg(-z)=\arg(z)+\pi\pmod{2\pi}$.

Pour la suite... ¡Caramba! Encore raté ! En effet, en posant $G(x,y)=2 \arctan(\frac{y}{x-\sqrt{x^2+y^2}})$, on a : $G(-1,0)=2\arctan(0)=0$, ce qui n'est manifestement pas un argument du complexe $-1$. L'expression $2 \arctan(\frac{y}{x-\sqrt{x^2+y^2}})-\pi$ semble plus prometteuse.

Come on! Pour $x=-1$ et $y=0$, on a : $y=0$ et $x-\sqrt{x^2+y^2}=-1-1=-2$.

Maintenant, il n'y a plus trop d'erreur mais une imprécision coupable : tout le problème vient de choisir une détermination de l'argument donc dire « $x=\cos\theta$ et $y=\sin\theta$ » sans préciser l'intervalle où varie $\theta$, ça ne va pas.
En effet, la formule $u=\arctan\tan u$ est fausse en général : elle n'est vraie que si $u\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[$. Du coup, la formule $\arctan{(-1/\tan{(\theta/2)})} = \pi/2 - \theta/2$ demande une justification -- qui à son tour exige de localiser $\theta$.

Pour l'intervalle où varie $\theta$, soit. Ce message serait plus convaincant si 0) on pouvait le lire indépendamment des messages (partiellement faux) précédents, 1) la preuve était complète et 2) elle ne contenait pas d'affirmations fausses du genre « $\arctan{u} = \pi/2 - \arctan{(1/u)}$ » (voir ci-dessous le graphe des deux fonctions...).

bonjour
j'ai trouvé le temps pour taper...

voilà comment j'ai procédé pour préciser $Arg(z)$ et prouver sa continuité sur $C-R^+$

$z$ étant dans $C-R^+$, il a un argument, $\theta$, dans

$]0;2\pi[ $ (et pouvant prendre toute valeur dans $]0;2\pi[$ )
(l'intervalle $]-\pi;\pi]$ me paraît mal choisi puisque qu'il contient $0$ qui ne peut être

un argument de $z$)

et je montre que $Arg(z)=\theta$, $Arg(z)$ étant celui défini par l'énoncé

1ière façon

calcul explicte de l'intégrale en paramétrant le segment $[-1,z]$ par $x=-1+u(|z|cos(\theta)+1),

y=u|z|sin(\theta)$

on arrive alors à l'intégrale
$\int_0^1 \frac {-|z|sin(\theta)}{(pu+q)^2+r^2}du $
avec $p=\sqrt{|z|^2+2|z|cos(\theta)+1}$
$q=-\frac {|z|cos(\theta)+1}{p}, r=\frac {|z|sin(\theta)}{p}$

donc $q^2+r^2=1$

donc $Arg(z)=\pi-[arctan(\frac {p+q}{r})-arctan(\frac{q}{r})]$
puisque une primitive de $\frac {1}{(pu+q)^2+r^2}$ est $\frac{1}{pr} arctan\frac{pu+q}{r}$

le pb est la somme $S$ des 2 arctan situés dans le crochet :
$tan(S)=-tan(\theta)$ donc $S=-\theta +k\pi$
mais $S$ est forcément dans $]-\pi;\pi[$, puisque $S$ est somme de deux arctan et $\theta$ est dans $]0;2\pi[$
donc la seule possibilité est $k=1$
et
$Arg(z)=\pi-(-\theta+\pi)=\theta$.

On voit d'ailleurs ainsi, pourquoi il y a $\pi$ en début de la formule de l'énoncé

2ième méthode
En fait, c'est ce qui m'a intéressé dans cet exercice, c'est d'où vient cette formule de l'argument avec une intégrale
en fait dessous il y a un logarithme complexe :

en effet en posant $Z=u+iv$

$\frac {udv-vdu}{u^2+v^2}=Im\frac{dZ}{Z}$

et sur le domaine $C-R^+$ une primitive de $1/Z$ est
$ln|Z|+i\alpha$ où $\alpha$ est l'argument de $Z$ situé dans $]0;2\pi[$
(c'est une détermination du logarithme (complexe) de $Z$, la coupure étant $R^+$)

et le calcul est alors instantané pour retrouver le résultat précédent.

Bon, maintenant pour montrer l'holomorphie de $f$, il suffit de montrer la continuité de

$Arg(z)$ et passer au taux d'accroissement, qui donnera d'ailleurs $f'(z)$.

(les conditions de Cauchy ne me semblent pas ici indispensables)

Géométriquement, "on voit" que $Arg(z)=\theta$ est bien continu ...

Par le calcul
1ière méthode

si $y>0$ on a $\theta=\pi/2-arctan(x/y)$ : dans $]0;\pi[$

si $y<0$ on a $\theta=3\pi/2-arctan(x/y)$ : dans $]\pi;2\pi[$

et si $y=0,x<0$ on $\theta=\pi$

sur les 2 premières régions qui sont des ouverts $Arg(z)$ est continu
(théorèmes généraux )
le pb c'est que le 3ième cas n'est pas un ouvert

si $z$ tend vers $z_0=x_0<0$ la partie imaginaire de $z$ peut être positive ou négative :

mais dans les 2 cas, en utilisant les formules ci-dessus l'argument $\theta$ de $z$ va bien tendre

vers $\pi$


2ième façon
on utilise la formule intégrale de l'énoncé avec le $dZ/Z$
et pour $z$ suffisamment proche de $z_0$ pour que le triangle de sommets $1,z,z_0$
soit dans $C-R^+$
la différence $Arg(z)-Arg(z_0)$ va être la partie imaginaire de l'intégrale de $dZ/Z$ prise

sur le segment $[z_0,z] $, vu l'holomorphie de
$1/Z$ sur $C-R^+$ .
Ensuite on majore le module de cette intégrale (au voisinage de $z_0$) par

$|z-z_0| \times constante$.

en espérant n'avoir pas trop bafouillé...

A mon avis ton contre exemple ne va pas
car intégrer une variable réelle $y$ entre $0$ et $i$ n'est pas cohérent

Il s'agit ici , au départ d'intégrales curvilignes

cad l'intégrale de $\int_\gamma f(z)dz$ est $\int_a^b f(u(t))u'(t)dt$ où $u$ est un paramétrage de $\gamma$ : une fonction de $[a;b]$ dans $C$ : $t$ est réel :

la partie imaginaire de $\int_a^b f(u(t))u'(t)dt$ est $\int_a^b Im[ f(u(t))u'(t)dt]$

Ton exemple correspond à $f(z)=1$ intégrée sur $[0;i]$ : $I=\int_{[0;i]} dz $
et sur ce segment $z=u(t)=it$

donc $I=\int_0^1 d(it)=i$ : la partie maginaire de $I$ est $1$
Maintenant
je considère l'intégrale $J$ sur $[0;1]$ de la partie imaginaire de $f(u(t))u'(t)dt=idt$ :
$J=\int_0^1 dt=1$
et on trouve pareil.