racines rationnelles d'un trinôme

Bonsoir,

Je dois déterminer la valeur de l'entier k telle que l'équation $x^2+kx+1=0$ admette deux solutions rationnelles.

Ma première idée est de passer par le discriminant, ce qui donne $\Delta = k^2-4$

Ainsi, l'équation admet deux solutions si et seulement si $\Delta \ge 0$ ie si et seulement si $k \in ]-\infty, -2]\cup [2, +\infty[ = I$

Dans le cas où $\Delta > 0$ et pour $k \in I$, on a : $x_1=\frac{-k-\sqrt{k^2-4}}{2}$ et $x_2=\frac{-k+\sqrt{k^2-4}}{2}$

Pour que $x_1$ et $x_2$ soient des racines rationnelles du polynôme, il faut que $k^2-4$ soit un carré parfait.
Le seul que je trouve est pour $k=2$, ce qui donne $\Delta = 0$, et comme racine double $x_0=-1$

Quelqu'un peut-il commenter, m'aider ?

Merci à vous et bonne soirée !