Un jeu avec les réglettes Cuisenaire
Bonjour à tous,
Voici un petit jeu à 2 joueurs pour égayer vos vacances sur la plage.
Matériel : un jeu de réglettes Cuisenaire (un ensemble de 10 bâtons représentant toutes les longueurs possibles entre 1 et 10 dans une unité fixée, [size=x-small]deux bâtons étant forcément de longueurs différentes[/size]).
On fixe "au hasard" (?) un nombre entre 1 et 55.
Le joueur 1 prend l'un des 10 bâtons de son choix et le pose.
Le joueur 2 prend l'un des 9 bâtons restants et le pose à la suite du premier.
Le joueur 1 choisit l'un des 8 bâtons restants et le pose à la suite du deuxième, etc.
Le premier joueur qui rend la longueur totale du "train" formé par la succession des bâtons strictement supérieure à N a perdu.
Bizarrement, il n'y a pas beaucoup de valeurs de N pour lesquelles il est immédiat de savoir si le joueur 1 est gagnant ou perdant.
Saurez-vous trouver lesquelles (facile), et comment déterminer cela pour n'importe quelle valeur (ce qui me semble bien plus difficile...) ?
Question subsidiaire : ce jeu est-il connu / porte-t-il un nom particulier ?
Voici un petit jeu à 2 joueurs pour égayer vos vacances sur la plage.
Matériel : un jeu de réglettes Cuisenaire (un ensemble de 10 bâtons représentant toutes les longueurs possibles entre 1 et 10 dans une unité fixée, [size=x-small]deux bâtons étant forcément de longueurs différentes[/size]).
On fixe "au hasard" (?) un nombre entre 1 et 55.
Le joueur 1 prend l'un des 10 bâtons de son choix et le pose.
Le joueur 2 prend l'un des 9 bâtons restants et le pose à la suite du premier.
Le joueur 1 choisit l'un des 8 bâtons restants et le pose à la suite du deuxième, etc.
Le premier joueur qui rend la longueur totale du "train" formé par la succession des bâtons strictement supérieure à N a perdu.
Bizarrement, il n'y a pas beaucoup de valeurs de N pour lesquelles il est immédiat de savoir si le joueur 1 est gagnant ou perdant.
Saurez-vous trouver lesquelles (facile), et comment déterminer cela pour n'importe quelle valeur (ce qui me semble bien plus difficile...) ?
Question subsidiaire : ce jeu est-il connu / porte-t-il un nom particulier ?
Réponses
-
Bonjour jaybe,
Je veux bien lancer le jeu
i) Pour $\ell\leq 10$, Alice n'a qu'à jouer $\ell$. Bob dépassera au coup suivant
ii) Pour $\ell = 11$, quel que soit le premier choix d'Alice, Bob peut compléter à 11 au deuxième coup et Alice perd.
iii) Pour $\ell = 12$, le jeu devient intéressant:
1+10 Alice perd
2+10 Alice perd
3+9 Alice perd.
...si Alice joue $a\not= 6$, Bob joue $12-a$.
si Alice joue 6 ; on aura 6+3+2+1 et Alice perd.
iv) Pour $\ell=13$ Alice joue 1 et gagne puisque quelle que soit la réponse de Bob, elle pourra compléter à 12 ou 13 au coup suivant
@ suivre, merci jaybe. -
Soient $\ell $ la longueur à ne pas dépasser, Alice le premier joueur, Bob le deuxième.
i) Si $1\leqslant \ell \leqslant 10$, Alice gagne.
ii) Si $\ell =11$ ou $\ell =12$, Bob gagne.
iii) Si $13\leqslant \ell \leqslant 15$, Alice gagne.
iv) Si $\ell =16$ ou $\ell =17$, Bob gagne.
v) Si $\ell =18$, Alice joue 9 et gagne.
Sommes-nous d'accord jusque là ? -
Voici les cas faciles et généralisables que j'ai pu identifier jusqu'à présent :
- de 1 à 10, Alice gagne,
- pour les multiples de 11, Bob gagne car il peut appliquer une stratégie de complément à 11,
- pour 14 et 18, Alice gagne en jouant la moitié et en appliquant une stratégie de complément,
- de 50 à 54, Alice gagne en jouant les plus petites quantités et Bob dépasse à son dernier coup.
Je n'ai pas vérifie au-delà de 14 mais je te fais confiance ! -
Je viens d'effectuer pas mal d'arbres et sauf erreur pour l=20 c'est Alice qui gagne en commençant avec 3 :
- si Bob répond 10, 9, 8 ou 7 Alice gagne immédiatement,
- si Bob répond 6, 5 ou 4, Alice joue respectivement 8, 9 ou 10 et les deux joueurs ne peuvent plus jouer que 1 et 2, donc Alice gagne au cinquième coup,
- si Bob répond 2, Alice joue 4 et peut jouer 1 au cinquième coup, donc elle gagne,
- enfin, si Bob répond 1, Alice joue 4 puis joue 2 à son cinquième coup donc elle gagne. -
Pour $\ell=20$ Alice gagne, ton étude est juste.
-
Pour 17, Alice joue 6 (elle tente une stratégie de complément à 11 au prochain coup). Bob n'a pas le choix et doit jouer 5 (car Alice ne peut plus jouer 6), ainsi Bob tente un complément à 6. Alice joue alors 3 et il ne reste plus que 1 et 2 à jouer donc Alice gagne.
-
Bien vu, le 17 (tu)
-
Pour 19, Alice joue 8 et Bob est forcé de jouer 3. Alice joue alors 5 et il ne reste que 1 et 2 à jouer : Alice gagne.
Pour 21, Alice joue 10 et Bob est forcé de jouer 1. Alice joue alors 9 et gagne. -
Je n'ai pas tout regardé mais
pour 16, Alice gagne en jouant 5 il me semble.D'accord. Cette stratégie n'est pas applicable à 16 ou 20 où Bob gagne, me semble-t-il....
Oups rien dit, pardon. -
Y'a pas de mal !
pour les distraits, le 5 d'Alice se heurte au 6 de Bob qui peut compléter à 5 le prochain choix d'Alice... -
J'essaie de me rattraper
Pour 23, Alice gagne en commençant avec 3 sauf erreur... (entre balises pour plus de lisibilité, mais c'est fait à la main) :[color=#DCDCDC]a. 3 10 7 (23-3-10-7=3 et pas de problème pour la suite) b. 3 9 8 (23-3-9-8=3 et pas de problème pour la suite)[/color] c. 3 [b]8[/b] [b]9[/b] (comme b) d. 3 [b]7[/b] [b]10[/b] (comme a) e. 3 [b]6[/b] 8 (23-3-6-8=6 et pas de problème pour la suite) f. 3 [b]5[/b] 10 2 1 (23-3-5-10=5=2+3 (les autres cas 5=1+4=4+1 ne posent pas de problème pour Alice) et 23-3-5-10-2-1=2) g. 3 [b]4[/b] [b]1[/b] 2 10 (23-3-4-1=15=2+13 (les autres cas ne posent pas de problème) et 23-3-4-1-2-10=3) / 9 1 h. 3 [b]2[/b] 6< 10 1 (23-3-2-6=12=9+3=10+2=1+11) \ 1 10 [color=#DCDCDC]/ 9 2 i. 3 1 7< 5 6 (23-3-1-7=12=9+3=5+7=6+6) \ 6 5[/color]Qu'en pensez-vous ? -
Bonjour,
C''est bien présenté et juste. -
Bien ! ça commence à faire beaucoup de branches maintenant...
-
Pour 24, Bob gagne (sauf erreur).
(24) Bob gagne : [color=#DCDCDC]{24.1} 10 7 (24-10-7=7) {24.2} 9 2 4 5 (24-9-2=13=4+9 et 24-9-2-4-5=4) {24.3} ..... 1 10 (.........=1+12 et 24-9-2-1-10=2) {24.4} 8 4 6 2 (24-8-4=12=6+6 et 24-8-4-6-2=4) {24.5} ..... 1 10 (.........=1+11 et 24-8-4-1-10=1) {24.6} 7 10 (comme {24.1})[/color] {24.7} [b]6[/b] 7 5 3 (24-6-7=11=5+6 et 24-6-7-5-3=3) {24.8} ..... 4 3 1 2 (.........=4+7 et 24-6-7-4-3=4=1+3 et 24-6-7-4-3-1-2=1) {24.9} ............. 2 1 (.............................=2+2 et 24-6-7-4-3-2-1=1) {24.10} [b]5[/b] [b]7[/b] 6 3 (24-5-7=12=6+6 et 24-5-7-6-3=3) {24.11} ..... 1 10 (.........=1+11 et 24-5-7-1-10=1) {24.12} [b]4[/b] [b]8[/b] 6 2 (comme {24.4}) {24.13} ..... 1 10 (comme {24.5}) {24.14} [b]3[/b] 7 1 6 4 2 (24-3-7=14=1+13 et 24-3-7-1-6=7=4+3 et 24-3-7-1-6-4-2=1) {24.15} ..... 2 5 4 1 (.........=2+12 et 24-3-7-2-5=7=4+3 et 24-3-7-2-5-4-1=2) {24.16} [b]2[/b] [b]9[/b] 4 5 (comme {24.2}) {24.17} ..... 1 10 (comme {24.3}) {24.18} [b]1[/b] [b]10[/b] 3 9 (24-1-10=13=3+10 et 24-1-10-3-9=1) {24.19} ..... 2 9 (..........=2+11 et 24-1-10-2-9=2) -
Ok ! On peut éliminer 24.13 et 24.17 en remarquant que si B est une réponse gagnante pour Bob contre A, alors A est une réponse gagnante contre B. D'ailleurs on pourrait aussi retirer 24.1 avec cette même règle, 1 étant une autre réponse gagnante contre 10.
-
Oui c'est vrai. On peut aussi éliminer 24.6 et ne garder finalement que 24.7--24.19. De même pour 23, on peut ne garder que c--h. J'ai édité.
Après, il faudrait peut-être automatiser tout ça... -
25 est gagnant pour Alice en jouant 9 avec les possibilités :
- 9 10 6 (et 9 6 10 par symétrie),
- 9 8 4 (et 9 4 8) suivi de 2 1 ou 3 1,
- 9 7 2 (et 9 2 7) ; il reste à faire 7, si Bob joue 5 alors Alice joue 1,
- 9 5 6 et Alice complète à 5 le choix de Bob,
- 9 3 10 suivi de 2 1 (ou 1 2),
- 9 1 3 et il reste à faire 12 : 10 et 2, 8 et 4, 7 et 5, 6 et 5 car 1 a déjà été joué ; les derniers cas sont obtenus par symétrie. -
Je vais essayer d'apporter une petite contribution.
26 est gagnant pour Alice qui commence par 10. Voici les variantes. Je ne donne pas les coups qui perdent immédiatement comme 10-9 (à cause de 7).
En fin de variante, le nombre entre parenthèses est ce qui manque pour atteindre 26.
10 - 8 - 4 - 2 - 1 (1)
10 - 6 - 5 (5)
10 - 5 - 6 déjà vu
10 - 4 - 8 déjà vu
10 - 3 - 2 - 1 - 9 (1)
10 - 2 - 3 déjà vu
10 - 1 - 4 - 7 - 3 (1)
Aldo -
Pour 27, Alice gagne en commençant par 9 et il y a assez peu de variantes :
9 - 7 - 2 (9)
9 - 6 - 3 (9)
9 - 5 - 4 (9)
9 - 1 - 8 (9)
Aldo -
Bien joué Aldo !
-
Pour 28, c'est un peu plus corsé : Alice gagne en commençant par 2.
2 - 10 - 3 (13) - 9 - 1 (3)
2 - 9 - 1 (16) 10 - 3 (3)
2 - 8 - 9 (9) - 7 - 1 (1)
2 - 7 - 6 (13) 10 - 1 (2)
2 - 6 - 7 déjà vu
2 - 5 - 8 (13) 10 - 1 (2)
2 - 4 - 9 (13) 10 - 1 (2)
2 - 3 - 10 déjà vu
2 - 1 - 9 déjà vu.
Mais toujours aucune généralisation en vue...
Aldo -
Tu m'impressionnes, Aldo !
J'aligne à peu près les mêmes suites que toi, mais entre Alice gagne et Bob gagne, je m'emmêle les pinceaux.
J'imagine qu'entre les conclusions que tu nous livres au jour le jour, tu dois remplir quelques feuilles de brouillon.
Amicalement. jacquot -
En effet Jacquot, mais le plus gros boulot c’est ensuite de tout mettre au propre pour poster !
Avec des nombres de plus en plus grands, il semblait que Alice doive désormais toujours gagner. Et pourtant, pour 29, c’est Bob qui gagne !
Voici d’abord un résumé des analyses :
10 – 8 (11)
9 – 3 (17)
8 – 10 déjà vu
7 – 8 (14)
6 – 8 (15)
5 – 8 (16)
4 – 10 (15)
3 – 9 déjà vu
2 – 9 (18)
1 – 8 (20)
Puis le détail des variantes :
10 – 8 (11) – 3 – 4 (4)
9 – 3 (17) – 2 – 6 (9)
……………1 – 8 (8)
(Edité : cette dernière variante est erronée comme le fait remarquer Amtagpa dans le message suivant.
La suite correcte est 9 - 3 (17) - 1 - 4 (12) et Bob gagne).
7 – 8 (14) – 6 – 1 (7)
……………3 – 4 (7)
……………2 – 6 (6)
……………1 – 6 déjà vu
6 – 8 (15) - 9 – 3 (3)
…………...7 – 4 (4)
…………...4 – 7 déjà vu
…………...3 – 9 déjà vu
…………...2 – 7 (6)
…………...1 – 7 (7)
5 – 8 (16) – 4 – 7 (5)
……………3 – 10 (3)
……………2 – 9 (5)
……………1 – 7 (8)
4 – 10 (15) – 5 – 6 (4)
…………….3 – 9 (3)
…………….2 – 9 (4)
…………….1 – 3 (11)
3 – 9 déjà vu
2 – 9 (18) – 7 – 4 (7)
……………6 – 3 (9)
……………5 – 8 (5)
……………4 – 10 (4)
……………3 – 6 déjà vu
……………1 – 4 (13)
1 – 8 (20) - 10 – 9 (1)
……………9 – 10 déjà vu
……………7 – 6 (7)
……………6 – 7 déjà vu
……………5 – 7 (8)
……………4 – 3 (13)
……………3 – 4 déjà vu
……………2 – 5 (13)
Et de moins en moins d’idées quant à une généralisation !
Aldo -
Bravo pour les solutions données, assez expéditives pour certaines !
Je venais d'arriver à la même conclusion pour 29, mais avec plus de sous-cas (6 sous-cas par exemple pour 9-3).9 – 3 (17) – 2 – 6 (9)
……………1 – 8 (8)
Il me semble que 8 n'est pas une réponse gagnante contre 1 : Alice peut jouer 7 et gagner. -
Merci Amtagpa j'ai édité et corrigé.
Pour 30, Alice retrouve le sourire et gagne avec 6 :
6 – 10 – 7 (7)
6 – 9 - 3 (12)
6 – 8 – 5 (11) - 3 – 4 (4)
6 – 7 – 10 déjà vu
6 – 5 – 8 déjà vu
6 – 4 – 8 (12)
6 – 3 – 9 déjà vu
6 – 2 – 10 (12)
6 – 1 – 10 (13) -
Ok Aldo pour 30 !
J'ai une question. Par exemple pour 29, j'avais pour 9 – 3 :
9 – 3 (17) – 8 – 6 (3)
…………….6---
.................5 – 7 (5) – 2 – 1 (2)
.................4 – 10 (3)
.................2 – 6 (9) – 7 – 1 (1)
................ 1 – 4 (12) – 8 – 2 (2)
...................................6 – 5 (1)
Comment fais-tu pour éliminer d'office certains cas ? -
Franchement, je ne me souviens pas trop des options que j'ai prises en recopiant mes brouillons.
Par exemple, après coup, on peut éviter de recopier toutes les variantes de 9-3 car on dispose de 2-9 nettement plus simple et qui implique 9-2, rendant l'étude de 9-3 inutile. Mais je ne suis pas sûr que ce fut mon raisonnement. Peut-être ai-je étudié ces variantes mentalement et donc il n'y avait rien à recopier ou alors certaines m'ont échappé.
Mais tu as raison de les signaler pour donner toute leur rigueur aux résultats !
Aldo -
Ok merci pour ta réponse. (C'est vrai qu'il y a 2-9 mais il y a aussi 3-9 qui utilise 9-3
)
En fait, c'est surtout que j'ai pensé qu'il y aurait une astuce qui m'éviterait de tester la suite du jeu sur la base du reste ou autre, mais non. -
Pour 32, Alice gagne en commençant par 10 (je détaille pour me convaincre moi-même..) :
10 – 9 – 2 (11) – 1 – 8 (2)
…....8 – 7 (7)
.......6 – 5 (11) – 1 – 9 (1)
.......4 – 7 (11) – 1 – 9 (1)
.......3 – 8 (11) – 1 – 9 (1)
.......1 – 9 (12) – 2 – 8 (2)
........................3 – 8 (1)
........................6 – 5 (1) -
Ça reste à confirmer, mais il semble qu'Alice gagne pour 43=3*11+10 et 54=4*11+10 de la même façon que pour 32=2*11+10 (et 21=1*11+10 et 10=0*11+10) en commençant par 10 et en complétant à 11 ou le plus proche possible de 11 les choix de Bob par la suite.
-
Et oui, une patite astuce, ça ferait du bien mais je n'en ai aucune.
C'est ok pour 32.
Aldo -
Très jolie ta remarque Amtagpa, je pense aussi que ça marche, il reste à l'écrire proprement !
-
Le cas 31 était particulièrement coriace car à nouveau, Bob gagne sur n’importe quel coup d’Alice.
Les variantes :
10 – 9 (12) – 6 – 3 (3)
……………..3 – 6 déjà vu
9 – 10 déjà vu
8 – 5 (18) – 10 – 4 (4)
…………….9 – 4 (5)
…………….7 – 6 (5)
…………….6 – 7 déjà vu
…………….4 – 10 déjà vu
…………….3 – 2 (13)
…………….2 – 3 déjà vu
…………….1 – 4 (13)
7 – 6 (18) 10 – 4 (4)
…………..9 – 3 (6)
…………..5 – 8 (5)
…………..4 – 10 déjà vu
…………..3 – 9 déjà vu
…………..2 – 10 (6)
…………..1 – 10 (7)
6 – 7 déjà vu
5 – 8 déjà vu
4 – 10 (17) – 7 – 6 déjà vu
……………– 6 – 7 déjà vu
……………- 5 – 8 déjà vu
……………- 3 – 7 (7)
……………- 2 – 1 (14)
……………- 1 – 2 déjà vu
3 – 10 (18) 9 – 6 déjà vu
…………...8 – 7 (3)
…………...7 – 8 déjà vu
…………...6 – 9 déjà vu
…………...5 – 8 (5)
…………...4 – 7 déjà vu
…………...2 – 8 (8)
…………...1 – 4 (13)
2 – 10 (19) – 9 – 5 (5)
…………....- 8 – 3 (8)
……………- 7 – 6 (6)
……………- 6 – 7 déjà vu
………….- 5 – 9 déjà vu
………….- 4 – 1 (14)
………….- 3 – 8 déjà vu
………….- 1 – 4 déjà vu
1 – 6 (24) - 10 – 7 (7)
….………- 9 – 3 (12)
….………- 8 – 4 (12)
….………- 7 – 10 déjà vu
….………- 5 – 7 (12)
….………- 4 – 8 déjà vu
….………- 3 – 9 déjà vu
….………- 2 – 10 (12)
Aldo
PS > Amtagpa : j’ai retrouvé dans un coin de tableau les lignes qui avaient disparu ! -
Je crois que ça marche. Par exemple pour 43, soit un jeu 10(x,x)(x,x)(x,x) obtenu avec cette règle :
- si Bob n'a pas joué 1, Alice a pu compléter à 11 à chaque fois ; le reste final est 0
- si Bob a joué 1 mais 2 n'est pas joué, Alice a complété à 10 une fois ..(1,9).. et à 11 les autres fois ; le reste final est 1
- si Bob a joué 1 et si 2 est joué mais pas 3, alors on a les cas ..(1,9)..(2,8).. ou ..{2,9}..(1,8).. ; le reste final est 2
- si Bob a joué 1 et si 2 et 3 sont joués, alors on a les cas (1,9)(2,8)(3,7) ou (1,9){3,8}(2,7) ou {2,9}(1,8)(3,7) ou {2,9}{3,8}(1,7) ou {3,8}(1,9)(2,7) ou {3,8}{2,9}(1,7) ; le reste final est 3
Pareil pour 54 avec 1,2,3,4.
Bon ce n'est pas super propre, mais ça semble ok. -
Encore grilled par Aldo pour 31 ! Mais il me semblait que 10 - 9 est gagnant pour Alice avec 10 - 9 - 1 - 2 - 7.
Comme il y a 4 - 10, je complète avec 9 - 3 :
9 – 3 (19) – 10 – 6 (3)
...................8 – 2 (9)
...................7 – 6 (6)
...................6--
...................5 – 1 (13)
...................4 – 2 (13)
...................2--
...................1-- -
Heureusement que tu es là pour corriger mes erreurs ! C'est ok pour 9-3
En résumé, pour 31 :
10 - 4
9-3
8-5
7-6
6-7
5-8
4-10
3-10
2-10
1-6
Ton idée avec 10 + 11k semble bien fonctionner.
Aldo -
En fait, pour éviter d'oublier des cas, j'ai finalement écrit une fonction qui retourne les réponses possibles d'un joueur (qui ne sont pas directement contrables). Donc c'était du semi-manuel à partir de 29...
def reponse(L,N): RL=[] for i in range(len(L)): N-=L[ i] j=0 while j<10: if j+1 not in L and (N-j-1 in L or N-j-1==j+1 or N-j-1>10 or N-j-1==0): RL.append(j+1) j+=1 return [RL,str(N)] <hr/>Exemple : >>> reponse([10],25) [[1, 2, 3, 4, 5], '15'] >>> reponse([10,5],25) [[], '10']
J'ai pu enfin construire l'arbre automatiquement en partant de reponse([],N), mais il reste quand même à faire l'effort de le parcourir visuellement pour décider du gagnant.
Pour 34, voici la partie de l'arbre quand Alice commence par 9 10 – 5 (10) – 1 – 8 (1)
.......7 – 6 (12) – 5 – 2 (5)
........................3 – 2 (7)
........................1 – 10 (1)
.......3 – 8 (14) – 7 – 4 (3)
........................6 – 5 (3)
........................5--
........................2 – 6 (6)
........................1 – 4 (9)
.......2 – 5 (18) – 7 – 6 (5)
........................6--
........................4 – 10 (4)
........................3 – 10 (5)
........................1 – 4 (13)
.......1 – 4 (20) – 10 – 5 (5)
.........................8 – 3 (9)
.........................7 – 6 (7)
.........................6--
.........................5--
.........................3--
.........................2 – 5 (13)
Voici l'arbre complet pour 35 pour qui voudrait le parcourir... -
Voici un autre cas qui semble généralisable. Pour 12*k+6, Alice gagne en commençant par 6 et en complétant à 12 ou au nombre le plus proche possible de 12 les choix de Bob par la suite. Si ça marche, Alice gagne pour 42
-
Apparemment il y a aussi le cas 13*k+2 où Alice gagne en commençant par 2 et en complétant à 13 ou au nombre le plus proche possible de 13 les choix de Bob par la suite. Alice gagne pour 41.
Et sauf erreur, 13*k+1 marche aussi pour Alice en commençant par 1 etc. -
Pour 35, il semble qu'Alice gagne avec 7 :
7 – 10 – 6 (12)
.......9 – 5 (14)
.......8 – 1 (19)
.......4 – 6 (18)
.......3 – 2 (23)
cf. arbre35.zip pour plus de détails -
Grâce à tes astuces, ça avance à grands pas. Je confirme pour 35 gagnant pour Alice.
-
Bonjour,
Pour 36, on peut jouer avec des compléments à 9 (ou 18) à l'instar du 27:
Alice joue 9 et gagne:
9 - 10 - 8 (9)
9 - 8 - 10
9 - 7 - 2 (18)
9 - 6 -3 (18)
9 - 5 - 4 (18)
...
9 - 1 - 8 - 10 - 7 -
Bien vu Jacquot, et du même coup, c'est réglé pour les multiples de 9. Lorsque le complément à 9 n'est pas possible, on fait au plus proche selon la méthode Amtagpa.
Par exemple pour 45, la variante délicate sera
9 - 10 - 8 - 1 - 7 (10) -
Yep ça se passe bien pour 9*k ! Il y a peut être d'autres cas cachés. En attendant, Alice gagne pour 38 avec 9 et comme début possible :
9 – 10 – 5 (14)
.......8 – 7 (14)
.......6 – 4 (19)
.......3 – 2 (24)
.......1 – 5 (23) -
Pour 37, Alice possède une stratégie amusante consistant à jouer systématiquement 1, 2 et 3 à ses trois premiers coups.
L'idée c'est qu'ensuite, pour gagner, il lui suffit de laisser à Bob un total de 0, 1, 2 ou 3.
Curieusement, Bob ne peut pas y échapper. Par exemple, s'il joue gros :
1 - 10 - 2 - 9 - 3 (12) et gain Alice.
Bob peut essayer d'échapper à l'étau en jouant tout petit :
1 - 4 - 2 - 5 - 3 (22) et même si Bob joue 6, Alice gagne par 10 car tous les petits chiffres sont saturés.
La même stratégie ne fonctionne pas pour 38, car Bob joue les petits chiffres :
1 - 4 - 2 - 5 - 3 - 6 (17) et Alice perd.
Aldo -
Pour 42, de la forme 3 + 13 k, Bob gagne par une stratégie simple : compléter à 13 les choix d'Alice sauf la séquence 1-2 ou 2-1.
Mais il se produit un choc car 42 est aussi de la forme 6 + 12k donné gagnant pour Alice par Amtagpa avec la stratégie jouer 6 puis compléter à 12 ou au plus proche les choix de Bob.
La variante de départage sera
6 - 7 - 5 - 8 - 4 - 9 (3) et Bob gagne (1-2 ou 2-1).
Edité : oups ! Alice gagne avec 3 !
Aldo -
Pas mal Aldo la stratégie du 37, elle marche mais on ne sait pas pourquoi (en tout cas moi). Elle ne fonctionne pas pour 39 non plus, mais Alice gagne avec 10 :
10 – 9 – 5 (15) – 1 – 4 (10)
.........................2 – 3 (10)
.........................3--
.........................4--
.........................6 – 4 (5)
.......8 – 7 (14) – 1 – 6 (7)
.........................2 – 5 (7)
.........................3 – 4 (7)
.........................4--
.........................6--
.......6 – 4 (19) – 1 – 2 (16)
.........................2--
.........................3 - 1 (15)
.........................5 - 9 (5)
.........................7 - 8 (4)
.........................8--
.........................9--
.......3 – 2 (24) – 1 – 4 (19)
........................x – 1
.......1 – 4 (24) – 2 – 3 (19)
........................x – 2
Sinon, ça cloche effectivement pour 13*k+3, mais bien essayé, j'avais aussi envisagé d'autres cas avant de changer d'avis.. -
En fait, je pense que la stratégie 1-2-3 fonctionne encore pour 38 avec juste une petite correction : lorsque Bob tente les petits chiffres, Alice n'a pas besoin du 3 et gagne déjà en jouant 10.
Par exemple la variante précitée (dans laquelle Bob joue au plus petit) :
1 - 4 - 2 - 5 et ici Alice n'a pas besoin du 3 et gagne par 10 (16)
Idem, pour d'autres petits chiffres comme
1 - 4 - 2 - 6 10 (15)
Pour le reste, 1-2-3 gagne. Par exemple
1 - 6 - 2 - 9 - 3(17)
Mais c'est encore le même problème : je constate juste, sans aucune preuve.
Aldo -
Cela ne fonctionne malheureusement pas pour 1 - 5 - 2 - 7, mais peut-être qu'il y a toujours un troisième choix gagnant pour Alice après 1-2 (pour ce cas c'est 8 ou 9 qu'il faut jouer, mais pas vérifié en général).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 7
+5 Invités