Graphe gradué planaire

Chers lecteurs,

Y a-t-il des résultats sur la planarité des graphes dans le cas des graphes gradués ? Le sens de la question n'est pas limpide alors j'explique.
En fait, il faut savoir que je ne connais absolument rien à la théorie de graphes.

Pour "graphe gradué" j'explique avec un exemple. Par exemple, un graphe gradué à 3 niveaux. C'est-à-dire que l'ensemble des sommets $V$ s'écrit $V=V_0 \cup V_1 \cup V_2$, que l'ensemble des arêtes s'écrit $E= E_1 \cup E_2$, avec $E_1$ qui relie les $v_0 \in V_0$ à des $v_1\in V_1$ et $E_2$ qui relie les $v_1 \in V_1$ à des $v_2\in V_2$. Par exemple ce graphe que je viens de dessiner à l'arrache avec Paint, graphe pour lequel $V_0=\{1\}$, $V_1=\{1,2\}$, $V_2=\{1,2,3\}$.

Sur mon dessin, les arêtes ne se croisent pas mais elles se croiseraient si j'échangeais le sommet 1 avec le sommet 3 dans $V_2$.

Le mot "planarité" dans ma question n'est pas approprié car la question que je me pose est bien plus précise que la planarité : je me demande s'il existe une représentation planaire du graphe mais qui a la même structure de "graduation".

Autrement dit peut-être que la question peut se formuler ainsi : existe-t-il des ordres sur les $V_i$ (qui sont toujours des ensembles finis) tels que si je dessine les $v \in V_{i-1}$ dans cet ordre sur une droite et les $v' \in V_{i}$ sur une droite parallèle alors au sein des $E_i$ aucune arête ne se croise ?

Attention, ce n'est pas (a priori) un problème qui se ramène à un problème sur chaque paire $\{V_{i-1}, V_i\}$ car ça doit se "raccorder".

J'espère que la question est compréhensible, sinon j'espère que vous ne manquerez pas de me le faire savoir.