QCM au hasard

Lacouette · August 2021

Bonjour, désolée ça doit être très simple mais je n'y arrive pas.
la question est : Un QCM comporte 10 questions pour chacune desquelles il y a 4 réponses possibles, dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité, en répondant au hasard, de répondre au moins 6 fois correctement.

J'aurais répondu :

P(X>=6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P( X=9) + P(X=10)

avec P(X=k) = (0,25)^k * (0,75)^(10-k) * ( Nombre de combinaisons de k parmi 10).

Mais la solution est : On utilise comme univers l'ensemble des n-uplets de nombres compris entre 1 et 4(ensemble de toutes les listes de réponses possibles), que l'on traduit de la probabilité uniforme. Il y a 4^10 réponses possibles (ok jusque là)
Le nombre de réponses correspondant à ce que l'on cherche est (Nombre de combinaisons de 6 parmi 10) * 4^4; En effet une liste acceptable de réponses s'obtient en choisissant 6 questions auxquelles on donne une bonne réponse et en choisissant n'importe quelle réponse pour les 4 questions restantes.

Donc la probabilité est (1/4)^10 * (Nombre de combinaisons de 6 parmi 10) * (4^4).

Qu'est ce qui ne va pas ?
Merci !

Dom · August 2021

Dans ton P(X=6), tu n’as donné par exemple que le cas où l’on répondrait juste aux 6 premières et faux aux 4 suivantes.
Justement, il manque toutes les autres combinaisons et donc un coefficient binomial $C_{10}^6$.

Édit : Ha pardon, tu l’as écrit avec « * ».

Édit 2 : ce qui ne va pas c’est que dans la solution je ne lis pas qu’il est question du « au moins 6 » mais plutôt exactement 6.
Enfin… j’essaye de préciser car c’est dit tout de même avec (n’importe quelles réponses pour les autres…).

Bon je dis n’importe quoi, as-tu évalué les deux méthodes (ta probabilité et celle du corrigé) ?

Dom · August 2021

En fait, le codage du corrigé est le suivant :
Il dénombre les réponses de la forme (VVVVVV????) (6 vraies et 4 quelconques)
Mais je me demande s'il ne commet par l'erreur de compter plusieurs fois les mêmes en multipliant par $C_{10}^6$.

Par exemple :
(VVVVVVF$_?$F$_?$V$_?$F$_?$) et (V$_?$VVVVVF$_?$F$_?$VF$_?$) sont les mêmes grilles (ordonnées cette fois) et pourtant on a permuté deux "V" (en couleur), l'un "quelconque" et l'autre "déjà mis".

lourrran · August 2021

Si on utilise la méthode du corrigé, avec des valeurs un peu différentes, juste pour voir :
Proba d'avoir au moins 5 bonnes réponses : ce serait donc $\dfrac{C(10,5)*4^5}{4^{10}}$
Pourquoi pas.

Et la proba d'avoir au moins 1 bonne réponse : $\dfrac{C(10,1)*4^9}{4^{10}}$
Ohh ! une proba plus grande que 1

Comme dit Dom, il y a plein de combinaisons qui sont comptées plusieurs fois.
Le corrigé est faux, et ta réponse est bonne.

Lacouette · August 2021

Mille mercis !
Ca me rassure !....:-)

Sato · August 2021

Salut,
quelques remarques :
- Cet exercice est archi-classique au lycée dans le chapitre sur le schéma de Bernoulli et la loi binomiale. Le plus parlant est de traiter $P(X=k)$ et de dénombrer des symboles dans une liste comme le fait Dom.
- L'autre corrigé est faux : on y dénombre les numéros de bonnes réponses sans tenir compte de la question à laquelle ils répondent.

PetitLutinMalicieux · August 2021

Bonjour,

Le corrigé apparaît tout de suite faux car des cas sont désignés 2 fois. il choisit 6 réponses justes parmi 10, et 4 n'importe quelle réponse pour les 4 restantes. Mais VVVVVVVFFF peut être choisi comme (VVVVVV)VFFF ou V(VVVVVV)FFF. donc 1 seul cas compté 2 fois.

Si on choisit les réponses justes, les questions restantes n'ont pas la liberté d'être juste. Erreur de débutant.

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