Nombre double-transpositions de ${\frak S}_n$

Bonjour,
je cherche à calculer le nombre de produits de deux transposition disjointes dans $\mathfrak S_{n}$. Notons $\delta_{n}$ ce nombre. Pour cela j'ai commencé petit avec $\delta_{1}=\delta_{2}=\delta_{3}=0$. Pour $\delta_{4}$ ça se calcule en les énumérant on trouve 3. Pour $\delta_{5}$, j'ai noté $\tau$ une telle double transposition. Donc il existe $i\in \{1;\ldots;5\}$ tel que $i\notin \mathrm{supp}(\tau)$. Donc cela consiste à choisir 4 nombres et on se retrouve avec $\mathfrak S_{4}$, puis il y a 5 façons de choisir $i$. Donc $\delta_{5}=15$. Est-ce correct ?

Pour la généralisation, on considère qu'il y a $n-4$ éléments qui ne sont pas dans le support de $\tau$. je trouve $\delta_{n}=n(n-1)\cdots 5\delta_{4}$. Est-ce correct ?
Merci.