Jeu "azul"
Bonjour
Je sèche sur le problème suivant que je me pose à propos de mon cadeau de Noël, le jeu AZUL.
Combien y a-t-il de matrices $n\times n$ dont l'ensemble des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne est $1,n$ ?
Il est probable que ces matrices ont un nom depuis longtemps ! Si jamais je l'ai connu, je l'ai oublié.
Je pense au produit des $n$ premières factorielles mais n'arrive pas à le prouver. C'est peut-être tout simplement faux !
Une référence me ferait plaisir.
Merci.
Paul.
Je sèche sur le problème suivant que je me pose à propos de mon cadeau de Noël, le jeu AZUL.
Combien y a-t-il de matrices $n\times n$ dont l'ensemble des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne est $1,n$ ?
Il est probable que ces matrices ont un nom depuis longtemps ! Si jamais je l'ai connu, je l'ai oublié.
Je pense au produit des $n$ premières factorielles mais n'arrive pas à le prouver. C'est peut-être tout simplement faux !
Une référence me ferait plaisir.
Merci.
Paul.
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Réponses
Si on note $p_i$ le nombre de possibilités pour remplir a $i$-ème ligne, on doit avoir que $i!-p_i$ est strictement décroissant, car il y a de plus en plus de contraintes à chaque nouvelle ligne.
mais il me semble qu'il y a bien 12 solutions pour $n=3$:
$6$ possibilités pour la première ligne, deux pour chacune de ces 6 pour la seconde ligne et 1 enfin pour la troisième ligne une fois choisies les deux premières.
Si j'ai bien compris, il s'agit de carrés latins.
Il y a une abondante source d'informations sur le sujet, tout comme sur leur comptage.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
D'après Villemin, pas de formule mais, comme le flaire Poirot, le produit des premières factorielles serait en fait un minorant.
Cordialement
Paul
Dans cet article il est dit :
"Soit $I_n$ le nombre de carrés latins d'ordre n ; jusqu'à ce jour, on a pu déterminer les valeurs exactes de $I_n$ pour $1\leq n\leq 8$. Pour calculer $I_8$, on a dû recourir à l'usage d'ordinateurs, mais même avec ceux-ci, en l'absence de nouvelles méthodes, on ne peut espérer aller bien loin dans cette direction."
Ce sont les carrés latins réduits qui semblent être la difficulté à surmonter.
Il y a des articles récents mais rien de concluant effectivement.
En tous cas, il y a de la lecture pour intéressé.
À bientôt.
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Soyons précis. Pour ton jeu Azul, n=5. Et Gérard Villemin indique clairement qu'il y a 161 280 possibilités, dans ton cas.
Je n'ai pas vu de présentation du jeu qui mette en avant sa mécanique intrinsèque, contrairement à Dobble, par exemple.
À bientôt.
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