Loi binomiale

RIKI · January 2021

Bonjour,
Voici un exercice sur la loi binomiale avec la première question.

"350 personnes assistent à un spectacle. À l'entracte, une boisson de 2 euros est proposée.
Lors des spectacles, il a été constaté que 40% des personnes consommaient une boisson.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de spectateurs prenant une boisson sur un total de 350 spectateurs.
1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres."

Dans le corrigé, X suit la loi binomiale de paramètres n=350 et p=0,4.
Mais la question que je me pose est de savoir si dans ce cas, le modèle de la loi binomiale est un bon modèle.
Merci de votre réponse.
Cordialement,
C.

gerard0 · January 2021

Bonjour.

Ce n'est pas un modèle parfait, car il revient à supposer que les choix de prendre une boisson ou pas sont indépendants les uns des autres. Mais comme la non indépendance est le fait de tout petits groupes (2, ou 3), et comme on a une grande population, ce modèle n'est pas absurde.

Il y a nombre d'exercices comme ça, où l'indépendance nécessaire pour justifier l'emploi de la loi binomiale n'est pas parfaite. Et des usages en statistiques industrielles (normes, contrôle de qualité, fiabilité, ..) qui perdurent parce que ça ne change pas vraiment beaucoup les résultats.

Cordialement.

RIKI · January 2021

Merci !
Mais ne faudrait-il pas préciser que chaque personne a 40% de chances de prendre une boisson ?
Parce qu'il y a quelque chose qui m'échappe : si l'on dit que parmi 350 personnes 40% prennent une boisson, il faudrait qu'il y ait 140 personnes qui en prennent une.
Mais avec le modèle de la loi binomiale, la proba que X soit égale à 140 vaut à peine 4,35% !?
Merci de vos précisions.
R.

GaBuZoMeu · January 2021

Bonjour,

Tu as raison. C'est le problème de tous ces exercices pour lesquels on donne un habillage "concret". Ce que cet habillage recouvre ici, c'est qu'on a 350 variables indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre 0.4, dont on fait la somme.

P. · January 2021

Pas un gros interet de calculer la valeur de $\Pr(X=140)$ quand $X\sim B(0,4, 350)$ meme si 140 est la moyenne de $X$. De facon pratique mieux vaut utiliser le theoreme central limite qui dit que $Z=(X-140)/\sqrt{84}$ suit a peu pres la loi normale $N(0,1)$, cela permettra d'acheter le nombre de bouteilles de biere correspondant au risque financier que l'on est pret prendre.

gerard0 · January 2021

" si l'on dit que parmi 350 personnes 40% prennent une boisson, " ?? Ce n'est pas vraiment ce qui est dit ! Il s'agit d'une fréquence sur "les spectacles", qui permet de modéliser par "une personne prise au hasard a 40 chances sur 100 de prendre une boisson".
Dans ces exercices mal faits, il y a plein de sous-entendus !

Cordialement.

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