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Somme de combinaisons

seifsalemseifsalem
dans Combinatoire et Graphes
Bonsoir
Je n'arrive pas à faire l'exercice 1.19
J'ai essayé plusieurs choses je n'y arrive pas.
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la correction s'il vous plaît parce que je pense que tout simplement je ne connais pas la méthode nécessaire.
Merci beaucoup.103528

Réponses

  • jacquotjacquot
    Bonjour,

    L'exercice 1.19 peut effectivement laisser sécher quelqu'un qui n'a jamais vu ce genre de calcul.

    On pourra remarquer que le développement de $(a+b)^n+(a-b)^n$ ne fait apparaître que des termes où $b$ a une puissance paire, les autres s'annulant.
    Il te reste à choisir des nombres $a$ et $b$ simples pour obtenir ce qui est demandé.
    Amicalement. jacquot
  • jacquotjacquot
    Comme @seifsalem ne donne pas signe de vie, je reviens sur sa question:
    La méthode que je lui ai suggérée donne une expression très simple de la première somme.
    pour la deuxième, elle donne aussi une expression compacte qui ne me satisfait qu'à moitié : $$\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2$$
    l'expression est jolie, mais elle ne se calcule pas bien, sauf à refaire le développement. Pourtant cette somme est évidemment entière pour tout $n$.

    Quelqu'un aurait-il une expression plus simplement calculable et pourrait-il alors m'aiguiller vers son obtention ?
    Amicalement. jacquot
  • Math CossMath Coss
    Comme pour $n\ge1$, on a $\frac{(\sqrt{2}-1)^n}{2}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\le\frac14$, la somme est l'entier le plus proche de $\frac{(\sqrt{2}+1)^n}{2}$. Autrement dit, on peut utiliser \[\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2=\left\lfloor\frac{(1+\sqrt 2)^n+1}2\right\rfloor.\]On peut aussi utiliser \[\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2=\begin{cases}
    \displaystyle\left\lfloor\frac{(1+\sqrt 2)^n}2\right\rfloor&\text{si $n$ est impair}\\
    \displaystyle\left\lceil\frac{(1+\sqrt 2)^n}2\right\rceil&\text{si $n$ est pair}\end{cases} \]
  • jacquotjacquot
    Ah ben oui,
    J'observe par exemple que pour $n=15$ la somme est l'entier le plus proche de $275 807,0000009$. Y a pas photo !
    Toujours pour $n=25$, la première somme vaut $16 777 216$ que l'on peut bien sûr calculer mentalement avec une dizaine d'occasions de se tromper ! Finalement on aura également recours à la calculatrice.

    Merci Math Coss ;-).
  • bisambisam
    Jacquot : On peut aussi calculer de proche en proche les valeurs de $\displaystyle u_n=\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2$ avec la relation de récurrence : $\forall n\in\N, u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$ et les deux premiers termes $u_0=u_1=1$.
  • seifsalemseifsalem
    Merci à tous pour votre aide j'ai réussi l'exercice.
    Pour la deuxième question j'ai trouvé la même chose que jacquot et je ne pense pas qu'il y a moyen de faire mieux
    Merci encore une fois
  • jacquotjacquot
    (tu)(tu) bisam,

    C'est un nouvel exercice que tu nous proposes là !
    ou un prolongement de l'exercice de seifsalem… Ta relation de récurrence se démontre assez facilement, mais comment l'as-tu vue ::o ?
    As-tu chaussé des lunettes à QI ?
    Genre on donne la suite $1,\ 1,\ 3,\ 7,\ 17,\ …$ Quel est le nombre suivant ?

    C'est exactement ce que je cherchais, comment passer d'un terme au suivant, mais je n'ai pas pensé à une récurrence sur deux termes.
    Merci. Amicalement, jacquot
  • aléaaléa
    @jacquot: il suffit de chercher une équation de degré 2 dont $1+\sqrt{2}$ et $1-\sqrt{2}$ sont les racines.
  • jacquotjacquot
    Merci aléa,
    Je manque sans doute de pratique des suites type Fibonacci :-S
  • jandrijandri
    On peut généraliser avec un réel $a$ quelconque et la suite $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2k}a^k$.

    En introduisant $b\in\C$ tel que $b^2=a$ on obtient $u_n=\dfrac{(1+b)^n+(1-b)^n}2$.

    La suite $(u_n)$ est alors caractérisée par $u_0=u_1=1$ et la récurrence : $\forall n\in\N, u_{n+2}=2u_{n+1}+(a-1)u_n$
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