Anti-chaîne
Bonjour,
Je bloque sur l'inégalité. Je dirais que $\mathcal A_k$ est une anti-chaîne car ses éléments sont des ensembles disjoints, l'ensemble des parties formant une partition de l'ensemble. Comme ils sont disjoints l'un de peut pas être inclus dans l'autre.
Je bloque sur l'inégalité. Je dirais que $\mathcal A_k$ est une anti-chaîne car ses éléments sont des ensembles disjoints, l'ensemble des parties formant une partition de l'ensemble. Comme ils sont disjoints l'un de peut pas être inclus dans l'autre.
Réponses
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Soit $n=4$. Peux-tu faire la liste des éléments de $\mathcal A_2$ ? Sont-ils deux à deux disjoints ?
Si ton but est de préparer le CAPES, je te conseille de laisser tomber ce genre d'exercices. Il ne me semble pas très utile pour ton but, et tu es visiblement complètement à côté de la plaque. -
Merci. Votre exemple confirme la grosse bêtise que j'ai dite.
Non mon but est de progresser en mathématiques. La combinatoire est un de mes gros points faibles avec l'arithmétique.
Le CAPES est l'objectif à court terme, mais je vise l'agrégation interne dans 2-3 ans.
$\mathcal A_2$ est l'ensemble des parties de $\{1,2,3,4 \}$ dont le cardinal vaut $2$.
Donc $\mathcal A_2 = \{ \{1,2 \} , \{2,3 \} , \{1,3\}, \{1,4 \} \}$
Ils ne sont pas disjoints mais aucun ensemble n'est inclus dans l'autre. Mais dans le cas général, je tente ceci en remarquant que $F \subset G$ si et seulement si $x \in F \implies x \in G$ donc $F \not\subset G$ si et seulement si $ x \in F \ \text{ET} \ x \notin G$
Soit $F$ et $G$ 2 éléments distincts de $\mathcal A_k$. Ainsi il existe un élément de $x \in F$ tel que $x \notin G$. Donc $F$ n'est pas inclus dans $G$. De même, on montre que $G$ n'est pas inclus dans $F$. -
Par contre, je ne vois pas comment faire avec l'inégalité du cardinal.
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Déjà tu peux déterminer précisément le nombre d'éléments de $\mathcal A_k$ (c'est le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$).
Pour finir tu peux utiliser le résultat de ton exercice ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1959416. -
Je ne comprends pas. Dire que deux ensembles sont différents, c'est dire qu'il existe un élément de l'un qui n'appartient pas à l'autre, c'est-à-dire : il existe un élément de $F$ qui n'appartient pas à $G$ ou il existe un élément de $G$ qui n'appartient pas à $F$. Tu sembles faire comme si ce « ou » était un « et ».OShine a écrit:Soit $F$ et $G$ deux éléments distincts de $A_k$. Ainsi il existe un élément de $x\in F$ tel que $x\notin G$. Donc $F$ n'est pas inclus dans $G$. De même, on montre que $G$ n'est pas inclus dans $F$.
J'approuve le conseil donné par GaBuZoMeu : ça ne va pas t'aider pour le CAPES. -
OShine, ta réponse pour $\mathcal A_2$ n'est pas correcte.
Si $A$ et $B$ sont des ensembles de même cardinal fini et si $A\subset B$, que peut-on en déduire ? -
@Math Coss
Je regarde les questions abordables pour apprendre des choses. Oui le CAPES est une échéance, mais c'est pas mon but ultime. J'aimerais progresser.
S'ils ont le même cardinale et que $A \subset B$ alors $A=B$ ce qui est absurde donc $A$ ne peut pas être inclus dans $B$.
Ça donne $ |\mathcal A_2 |= \binom{4}{2} = \dfrac{4!}{(2!)^2} = 6$ donc en effet j'ai oublié des éléments.
Je corrige mon erreur :
$\mathcal A_2 = \{ \{1,2\} , \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,4\}, \{2,4 \}, \{3,4\} \}$
Puis $|\mathcal A_k| = \binom{n}{k}$ et l'inégalité montrée dans la partie analyse du forum donne le résultat. -
Mais qu'est ce que tu fais... tu galères encore sur des exos de base pourquoi tu cherches à faire des exos d'agreg maintenant ? Reste à ton niveau tant que tu ne maîtrises pas tout ce que tu as vu jusque là. Le mieux à faire pour toi c'est de retourner sur le programme de Capes. Préparer un concours niveau master alors qu'on n'a pas le niveau L1...
Tout ce que tu vas gagner avec ce type d'exo c'est qu'on va te corriger chaque question et on devra t'expliquer chaque correction pendant des heures. -
C'est pas un exercice d'agrégation mais une question d'un concours d'ingénieur. Dans le rapport, ils disent que ce sont pas des questions difficiles.
Ce sont des questions de niveau L1 d'après le rapport du jury tout ce sujet est d'un niveau L1. -
Peut être mais fais des exos de base appliqués au cours que tu as vu. C'est bien plus important à ton niveau que de faire de l'exotisme sans mauvais jeu de mot.
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Partant d'une bijection de $\{1, \dots, |A|\}$ dans lui-même, de combien de manière tu peux la prolonger en une bijection de $\{1, \dots, n\}$ ?
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@Noobey
Vous avez raison, mais j'ai lu ça et ça m'a intéressé.
Pour $|A|+1$ il y a $n-|A|$ possibilités, puis pour $|A|+2$ il y en a $n-|A|-1$ etc pour $n$ il reste une possibilité.
Il y a donc $(n-|A|) (n- |A|-1) (n- |A|-2) \times \cdots \times 1$ possibilités.
Il y a donc $(n-|A|) !$ possibilités. -
J'ai trouvé $|S_A |= A! (n- |A|) !$
Je réfléchis à la dernière question. -
Pour la dernière question.
Soit $B \ne A$. Supposons par l'absurde que $S_A \cap S_B \ne \emptyset$.
Il existe donc une bijection $\sigma \in S_A \cap S_B$.
La restriction $\sigma_{ \{1,\cdots ,|A| \}}$ réalise une bijection de $\{1,\cdots ,|A| \}$ sur $\{\sigma(1) , \cdots \sigma(|A|) \}$ et $\sigma_{ \{1,\cdots ,|B| \}}$ réalise une bijection de $\{1,\cdots ,|B| \}$ sur $\{\sigma(1) , \cdots \sigma(|B|) \}$
Là je bloque un peu. -
La restriction $\sigma_{ \{1,\cdots ,|A| \}}$ réalise une bijection de $\{1,\cdots ,|A| \}$ dans $A$ et la restriction $\sigma_{ \{1,\cdots ,|B| \}}$ réalise une bijection de $\{1,\cdots ,|B| \}$ dans $B$.
Si on suppose (sans perte de généralité) que $|A|\leq |B|$ alors... -
Si on suppose $|A| < |B|$ alors $\{ 1, \cdots |A| \} \subset \{1, \cdots |B| \}$
Mais après je n'arrive pas à faire le lien avec les ensembles $A$ et $B$. -
Si je te rappelle que $\sigma({ \{1,\cdots ,|A| \}})=A$ et $\sigma({ \{1,\cdots ,|B| \}}) = B$ (c'est le lien que tu cherchais...) tu arrives à conclure ?
PS. Si tu n'arrives pas à résoudre ces exos tout seul c'est parce que tu ne "visualises" pas le problème dans ta tête, tu t'accroches aux "formalismes" mais tu n'interprètes pas. Quand je dis "visualiser" je veux dire se représenter mentalement les objets mathématiques et les relations qu'il y a entre eux. Après je ne dis pas qu'on peut toujours le faire, ça dépend des problèmes, mais là on peut. -
$\sigma(\{1, \dots, |A|\}) = A, \sigma(\{1, \dots, |B|\})=B$ et $\{1, \dots, A\} \subset \{1, \dots, |B|\}$...
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Une bijection conserve le cardinal donc on trouve que $A \subset B$ ce qui est absurde car $A$ et $B$ sont des anti-chaînes donc ils ne sont pas comparables.
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Ça n'a rien à voir avec le fait qu'une bijection conserve le cardinal enfin !
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