Sur une somme

Sans la constante multiplicative, ça donne donc : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-r+1} k \cdot \binom{n-k}{r-1} = \sum_{k=0}^{n-s} k \cdot \binom{n-k}{s}$, avec $s = r-1$.

Je crois que ça donne $
\displaystyle
\sum_{k=0}^{n-s} k \cdot \binom{n-k}{s}
= \sum_{i=s}^{n} (n-i) \cdot \binom{i}{s}
= n \cdot \sum_{i=s}^{n} \binom{i}{s}
+ \sum_{i=s}^{n} \underbrace{i \cdot \binom{i}{s}}_{(s+1)\cdot \binom{i+1}{s+1}}
$.

Ensuite, on conclut par $\displaystyle \sum_{i=s}^{n} \binom{i}{s} = \binom{n+1}{s+1}$. https://en.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity

Il est probablement possible de faire beaucoup plus élégant et moins long !

Ça se simplifie sans doute, je n'ai pas fait le calcul !