Combinatoire et musique

toniorush
toniorush
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour,

Je cherche à exprimer de manière "mathématique" une chose que je voudrais réaliser en informatique.

Je voudrais pouvoir lister l'intégralité des positions possibles pour un accord pour un instrument donné.

Par exemple, l'accord parfait de 4 sons, est composé de la fondamentale, la tierce, la quinte et la fondamentale.
Chacun des sons peut être à différentes octaves.

Prenons un cas particulier, l'accord de mi mineur, à la guitare. C'est un accord composé de mi sol si mi.
Mi doit être à la basse, les autres dans n'importe quel ordre.
le mi peut être mi1 mi2 mi3 mi4 (quatre octaves possibles sur la guitare, au piano ce serait plus)
idem pour sol c'est sol1 sol2 sol3 sol4

Exemples d'accords :
mi1 sol1 si1 mi2
mi1 si1 mi2 sol2
...

J'ai essayé sur papier et j'arrive à 33, et j'en n'ai pas fait le quart je pense.

Mon but est de présenter tous les accords possible sur une partition.
Mais avant il me manque les mathématiques...

Merci d'avance pour votre aide84614

Réponses

  • LOU16
    LOU16
    Bonsoir,
    Le nombre d' "accords possibles" dépend bien entendu de la tessiture de l'instrument, et son calcul nécessite la connaissance des données suivantes décrites dans le cadre d'un "$\text{Do-Mi-Sol-Do}$", où $\text{Do1}$ désigne le $\text{Do}$ le plus grave de l'instrument:
    $\bullet\:\: p =$ nombre de $\text{Do}$ disponibles au-dessus de $\text{Do1}$.
    $\bullet \:\:q= $ nombre de $\text{Mi}$ disponibles au-dessus de $\text{Do1}$.
    $\bullet \:\: r=$ nombre de $\text{Sol}$ disponibles au-dessus de $\text{Do1}$.
    Je note enfin $n$ le plus petit des trois nombres $p,q,r$.
    Alors, dans ces conditions, le nombre d'accords possibles avec les contraintes que tu as indiquées est:

    $\boxed{N = pqr + (p-1)(q-1)(r-1) + (p-2)(q-2)(r-2)+ ...+ (p-n+1)(q-n+1)(r-n+1)} $
    ou, de manière plus condensée: $\:\:\: N= \displaystyle \sum_{i=0} ^{n-1} (p-i)(q-i)(r-i)$.

    Par exemple, si $p =3, \:\: q=r=4$ , alors: $N= (3\times4\times4) + (2\times 3\times3) + (1\times2 \times2) =70$.
  • toniorush
    toniorush
    Merci tout d'abord pour ta réponse, ça m'a permis d'avancer.

    Je reprends l'énoncé du problème que j'ai mal posé, en essayant de reprendre ensuite tes termes.

    Un accord (en harmonie classique) est composé de quatre voix : basse, ténor, alto, soprano.
    Ces quatre voix peuvent être une chorale, quatre notes de piano, quatre cordes de guitare.

    Il existe différents "types" d'accord (parfait majeur, parfait mineur, de sixte, de quarte et sixte, dominante...), chacun dans douze tonalités (Do, Do#, Ré, etc).

    L'accord qu'on prend ici en exemple est l'accord parfait majeur de Do.
    Il est composé d'une basse do, et de trois voix qui joueront à n'importe quelle octave, supérieure au égale à la basse : la tierce (mi), la quinte (sol), la fondamentale (do).

    J'ai fait un essai en programmation, sans tenir compte de la contrainte "supérieure au égale à la basse", avec 4 octaves possible pour chaque voix, et j'arrive à 256.
    Ce qui parait évident a posteriori, c'est 4*4*4*4.

    Donc si on prend :
    - p : nombre de do pour la basse
    - q : nombre de mi pour une des autres voix
    - r : nombre de sol pour une des autres voix
    - s : nombre de do pour une des autres voix

    Sans la contrainte de la basse, on a p*q*r*s possibilités.

    Je n'ai pas compris dans ta réponse pourquoi prendre "n le plus petit des trois nombres p,q,r" ?

    Maintenant j'essaie d'ajouter la contrainte de la basse supérieure aux autres dans mon petit programme (c'est en javascript, je peux le publier).

    Je vais y arriver de manière empirique mais j'aimerais connaître les mathématiques derrière.

    Merci encore pour l'intérêt porté sur ce sujet.
  • toniorush
    toniorush
    Voilà le résultat pour un do majeur avec 4 octaves possibles pour chaque son, avec la basse la plus grave.
    100 accords... pourquoi ?84762
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,

    Pour te fournir un dénombrement dépourvu d'ambigüité, il est indispensable que je connaisse les paramètres que j'ai nommés $p,q,r$, dont je ne dispose pas tout à fait clairement à la lueur de l'indication "quatre octaves possibles", car j'ignore quelles sont les notes extrêmes de l'instrument.
    D'autre part, mon décompte était effectué dans le cadre où les deux $\text{Do}$ de l'accord étaient distincts, car c'est ce que j'avais cru comprendre (mais rien n'était clair à ce sujet).
    Or il semble que tu admettes les accords où les deux $\text{Do}$ sont à l'unisson.
    Dans ce cas, la formule donnant le nombre d'accords possibles est encore celle donnée dans mon précédent message, mais dans laquelle le paramètre $p$ ne désigne plus le nombre de $\text{Do}$ au dessus de $\text{Do1}$, mais le nombre de $\text{Do}$ que possède l'instrument.
    J'ai cru comprendre que tu considérais un instrument dont le registre allait de $\text{Do1}$ à $\text{Si4}$, ( dans ma numérotation d'octaves, le changement de numéro se fait à chaque $\text{Do}$) auquel cas on a:
    $p=q=r =4$ , $n=4$, et donc $ N = (4\times 4\times 4) + (3\times 3\times 3) + (2\times 2 \times 2) +(1 \times 1 \times 1) =100$

    Si le registre va de $\text{Do1}$ à $\text{Do5},\:\:$ alors $p =5, \: q=r =4, \:n= 4$ et $\:\:N =(5\times 4 \times 4) + (4 \times 3 \times 3 ) +(3 \times 2 \times 2 ) + (2 \times 1 \times 1) =130.$
    Si le registre va de $\text{Mi0}$ à $\text{Ré4}$, alors $p =4,\:q=r=n=3$ et $\: N = (4\times 3 \times 3) + (3 \times 2 \times 2) + (2 \times 1 \times 1) = 50.$
  • toniorush
    toniorush
    on arrive à 100=100, la théorie rejoint la pratique !

    L'énoncé n'est effectivement pas clair. Plus ça avance moins il l'est.

    Je n'avais pas conscience des unissons par exemple au début.

    Autre chose que je réalise : chaque voix a une tessiture différente. Pour la basse c'est facile car elle chante toujours la note la plus basse. Par contre le ténor peut chanter la tierce ou la quinte ou la fondamentale.

    Donc le mi dans notre exemple doit être inclus dans la tessiture de la voix qui va le chanter, qui est différente suivant la position dans l'accord.

    Mon prochain problème va être de dire quel accord est jouable sur un instrument, mais ça dépasse les mathématiques...

    Pour l'instant donc ça me suffit, merci !
  • jeancreatif
    jeancreatif
    Quand on a étudié l'harmonie, on sait que bien des combinaisons sont interdites, car les musiciens considèrent que cela sonne mal. Aucune de ces combinaisons ne sont utilisées par les grands compositeurs, JAMAIS. Par contre elle polluent bien des partitions de variété. La combinatoire est une chose et la musique une autre.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Pourrais tu citer une combinaison que tu considères comme interdite en musique ?

    Cordialement,

    Rescassol
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